Номер 141, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 141, страница 53.

Условие.

141. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

1) $x^2 + 8x - 263 = 0;$

2) $x^2 - 14x + 5 = 0;$

3) $5x^2 - 12x - 7 = 0;$

4) $11x^2 + 29x + 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения, не решая его, используется теорема Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Применим эти формулы к каждому из заданных уравнений.

1) $x^2 + 8x - 263 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 8$, $c = -263$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{8}{1} = -8$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-263}{1} = -263$.

Ответ: сумма корней: -8; произведение корней: -263.

2) $x^2 - 14x + 5 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = -14$, $c = 5$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{-14}{1}) = 14$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5$.

Ответ: сумма корней: 14; произведение корней: 5.

3) $5x^2 - 12x - 7 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 5$, $b = -12$, $c = -7$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{-12}{5}) = \frac{12}{5}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{5} = -\frac{7}{5}$.

Ответ: сумма корней: $\frac{12}{5}$; произведение корней: $-\frac{7}{5}$.

4) $11x^2 + 29x + 3 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 11$, $b = 29$, $c = 3$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{29}{11}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{11}$.

Ответ: сумма корней: $-\frac{29}{11}$; произведение корней: $\frac{3}{11}$.