Номер 136, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 136, страница 52.

Условие.

136. Решите уравнение:

1) $x^2 - 3x + \frac{4}{x-2} = \frac{4}{x-2} - 2;$

2) $(\sqrt{x} - 4)(12x^2 + 17x - 5) = 0;$

3) $(x^2 + 7x)(\sqrt{x} - 6)(x^2 - 4x - 21) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^2 - 3x + \frac{4}{x-2} = \frac{4}{x-2} - 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Поскольку слагаемое $\frac{4}{x-2}$ присутствует в обеих частях уравнения, мы можем его вычесть из обеих частей:
$x^2 - 3x = -2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Либо можно решить через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$
$x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$
$x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$).
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.
Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1.

2) $(\sqrt{x} - 4)(12x^2 + 17x - 5) = 0$

ОДЗ данного уравнения определяется наличием квадратного корня. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Поэтому рассмотрим два случая:

I) $\sqrt{x} - 4 = 0$
$\sqrt{x} = 4$
Возведя обе части в квадрат, получаем:
$x = 16$
Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $16 \ge 0$.

II) $12x^2 + 17x - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-5) = 289 + 240 = 529 = 23^2$
Найдем корни:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 \pm 23}{2 \cdot 12} = \frac{-17 \pm 23}{24}$
$x_1 = \frac{-17 + 23}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$
$x_2 = \frac{-17 - 23}{24} = \frac{-40}{24} = -\frac{5}{3}$

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = \frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -\frac{5}{3}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как является отрицательным числом.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются все найденные корни, удовлетворяющие ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{4}; 16$.

3) $(x^2 + 7x)(\sqrt{x}-6)(x^2 - 4x - 21) = 0$

ОДЗ уравнения: $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю, учитывая ОДЗ.

I) $x^2 + 7x = 0$
$x(x + 7) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = -7$.

II) $\sqrt{x} - 6 = 0$
$\sqrt{x} = 6$
$x_3 = 36$

III) $x^2 - 4x - 21 = 0$
По теореме Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно -21. Корнями являются $x_4 = 7$ и $x_5 = -3$.

Теперь отберем корни, удовлетворяющие ОДЗ ($x \ge 0$).
$x_1 = 0$ — подходит.
$x_2 = -7$ — не подходит (посторонний корень).
$x_3 = 36$ — подходит.
$x_4 = 7$ — подходит.
$x_5 = -3$ — не подходит (посторонний корень).

Объединяем все подходящие корни.

Ответ: $0; 7; 36$.