Номер 129, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. При каких значениях $a$ число $\frac{1}{2}$ является корнем уравнения $a^2 x^2 + 2ax - 3 = 0$?

Согласно условию, число $x = \frac{1}{2}$ является корнем уравнения $a^2x^2 + 2ax - 3 = 0$. Это значит, что при подстановке данного значения $x$ в уравнение, оно обращается в верное числовое равенство.

Выполним подстановку $x = \frac{1}{2}$ в исходное уравнение:
$a^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2a \cdot \left(\frac{1}{2}\right) - 3 = 0$

Упростим полученное выражение, выполнив вычисления:
$a^2 \cdot \frac{1}{4} + a - 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно параметра $a$. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 4:
$4 \cdot \left(\frac{a^2}{4} + a - 3\right) = 4 \cdot 0$
$a^2 + 4a - 12 = 0$

Теперь необходимо решить это квадратное уравнение, чтобы найти значения $a$. Сделаем это через вычисление дискриминанта. Для уравнения вида $Ay^2 + By + C = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.
В нашем уравнении переменной является $a$, а коэффициенты равны: $A=1$, $B=4$, $C=-12$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$a_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
$a_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, при значениях $a = -6$ и $a = 2$ число $\frac{1}{2}$ является корнем заданного уравнения.
Ответ: -6; 2.