Номер 122, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 122, страница 51.

Условие.

122. Решите уравнение:

1) $ (2x - 3)(x + 1) + (x - 6)(x + 6) + x = 0; $

2) $ (3x - 5)^2 - 5(5 + 3x) = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(2x - 3)(x + 1) + (x - 6)(x + 6) + x = 0$

Для решения данного уравнения необходимо сначала раскрыть скобки. Первое произведение $(2x - 3)(x + 1)$ раскрываем по правилу умножения многочленов:

$(2x - 3)(x + 1) = 2x \cdot x + 2x \cdot 1 - 3 \cdot x - 3 \cdot 1 = 2x^2 + 2x - 3x - 3 = 2x^2 - x - 3$

Второе произведение $(x - 6)(x + 6)$ является формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:

$(x - 6)(x + 6) = x^2 - 6^2 = x^2 - 36$

Теперь подставим раскрытые скобки обратно в исходное уравнение:

$(2x^2 - x - 3) + (x^2 - 36) + x = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 + x^2) + (-x + x) + (-3 - 36) = 0$

$3x^2 + 0 - 39 = 0$

$3x^2 - 39 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$3x^2 = 39$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 = \frac{39}{3}$

$x^2 = 13$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:

$x = \pm\sqrt{13}$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{13}$ и $x_2 = -\sqrt{13}$.

Ответ: $x = \pm\sqrt{13}$.

2) $(3x - 5)^2 - 5(5 + 3x) = 0$

Раскроем скобки в уравнении. Выражение $(3x - 5)^2$ является формулой квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 = 9x^2 - 30x + 25$

Раскроем вторую скобку, умножив $-5$ на каждый член внутри нее:

$-5(5 + 3x) = -5 \cdot 5 - 5 \cdot 3x = -25 - 15x$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(9x^2 - 30x + 25) - 25 - 15x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$9x^2 + (-30x - 15x) + (25 - 25) = 0$

$9x^2 - 45x = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $9x$ за скобки:

$9x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$9x = 0$ или $x - 5 = 0$

Решаем каждое из этих простых уравнений:

Из $9x = 0$ следует, что $x = 0$.

Из $x - 5 = 0$ следует, что $x = 5$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 5$.