Номер 118, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(3 - \sqrt{a})^2 + 12\sqrt{a}} - \sqrt{(1 + \sqrt{a})^2 - 4\sqrt{a}};$

2) $\sqrt{b - 2\sqrt{b + 7} + 8} + \sqrt{b + 2\sqrt{b + 7} + 8}.$

Упростим выражения под каждым из корней. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Выражение под первым корнем: $(3-\sqrt{a})^2 + 12\sqrt{a} = 9 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2 + 12\sqrt{a} = 9 - 6\sqrt{a} + a + 12\sqrt{a} = a + 6\sqrt{a} + 9$.

Полученное выражение $a + 6\sqrt{a} + 9$ является полным квадратом суммы: $(\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 3 + 3^2 = (\sqrt{a}+3)^2$.

Выражение под вторым корнем: $(1+\sqrt{a})^2 - 4\sqrt{a} = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2 - 4\sqrt{a} = 1 + 2\sqrt{a} + a - 4\sqrt{a} = a - 2\sqrt{a} + 1$.

Это выражение $a - 2\sqrt{a} + 1$ является полным квадратом разности: $(\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a}-1)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $\sqrt{(\sqrt{a}+3)^2} - \sqrt{(\sqrt{a}-1)^2}$.

Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $|\sqrt{a}+3| - |\sqrt{a}-1|$.

По определению корня $a \ge 0$, поэтому $\sqrt{a} \ge 0$, и выражение $\sqrt{a}+3$ всегда положительно. Следовательно, $|\sqrt{a}+3| = \sqrt{a}+3$.

Выражение принимает вид: $\sqrt{a}+3 - |\sqrt{a}-1|$.

Для раскрытия модуля $|\sqrt{a}-1|$ рассмотрим два случая, так как знак выражения $\sqrt{a}-1$ зависит от значения $a$.

Случай 1: $\sqrt{a}-1 \ge 0$, то есть $\sqrt{a} \ge 1$, что равносильно $a \ge 1$.
В этом случае $|\sqrt{a}-1| = \sqrt{a}-1$.
Выражение становится равным $(\sqrt{a}+3) - (\sqrt{a}-1) = \sqrt{a}+3-\sqrt{a}+1 = 4$.

Случай 2: $\sqrt{a}-1 < 0$, то есть $0 \le \sqrt{a} < 1$, что равносильно $0 \le a < 1$.
В этом случае $|\sqrt{a}-1| = -(\sqrt{a}-1) = 1-\sqrt{a}$.
Выражение становится равным $(\sqrt{a}+3) - (1-\sqrt{a}) = \sqrt{a}+3-1+\sqrt{a} = 2\sqrt{a}+2$.

Ответ: $4$ при $a \ge 1$; $2\sqrt{a}+2$ при $0 \le a < 1$.

Рассмотрим выражения под знаками корней. Их структура подсказывает, что их можно представить в виде полных квадратов.

Выражение под первым корнем: $b - 2\sqrt{b+7} + 8$. Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат: $(b+7) - 2\sqrt{b+7} + 1$. Это выражение соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, где $x=\sqrt{b+7}$ и $y=1$. Таким образом, $b - 2\sqrt{b+7} + 8 = (\sqrt{b+7}-1)^2$.

Выражение под вторым корнем: $b + 2\sqrt{b+7} + 8$. Аналогично, перегруппируем: $(b+7) + 2\sqrt{b+7} + 1$. Это выражение соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x=\sqrt{b+7}$ и $y=1$. Таким образом, $b + 2\sqrt{b+7} + 8 = (\sqrt{b+7}+1)^2$.

Исходное выражение принимает вид: $\sqrt{(\sqrt{b+7}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{b+7}+1)^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $|\sqrt{b+7}-1| + |\sqrt{b+7}+1|$.

Область определения выражения задается условием $b+7 \ge 0$, то есть $b \ge -7$. При этом условии $\sqrt{b+7} \ge 0$, следовательно, $\sqrt{b+7}+1$ всегда положительно, и $|\sqrt{b+7}+1| = \sqrt{b+7}+1$.

Выражение упрощается до: $|\sqrt{b+7}-1| + \sqrt{b+7}+1$.

Для раскрытия оставшегося модуля рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $\sqrt{b+7}-1$.

Случай 1: $\sqrt{b+7}-1 \ge 0$, то есть $\sqrt{b+7} \ge 1$. Возводя обе части в квадрат, получаем $b+7 \ge 1$, что равносильно $b \ge -6$.
В этом случае $|\sqrt{b+7}-1| = \sqrt{b+7}-1$.
Выражение становится: $(\sqrt{b+7}-1) + (\sqrt{b+7}+1) = 2\sqrt{b+7}$.

Случай 2: $\sqrt{b+7}-1 < 0$, то есть $0 \le \sqrt{b+7} < 1$. Возводя в квадрат, получаем $0 \le b+7 < 1$, что равносильно $-7 \le b < -6$.
В этом случае $|\sqrt{b+7}-1| = -(\sqrt{b+7}-1) = 1-\sqrt{b+7}$.
Выражение становится: $(1-\sqrt{b+7}) + (\sqrt{b+7}+1) = 1-\sqrt{b+7}+\sqrt{b+7}+1 = 2$.

Ответ: $2\sqrt{b+7}$ при $b \ge -6$; $2$ при $-7 \le b < -6$.