Номер 125, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Решите уравнение:

1) $x^2 + 2x - 24 = 0;$

2) $x^2 - 9x + 20 = 0;$

3) $10n^2 - 9n + 2 = 0;$

4) $21y^2 - 2y - 3 = 0;$

5) $x^2 + 8x - 13 = 0;$

6) $2x^2 - 4x - 17 = 0;$

7) $9x^2 + 42x + 49 = 0;$

8) $x^2 - 10x + 37 = 0.$

1) $x^2 + 2x - 24 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. Решим его с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1, b=2, c=-24$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ: $x_1 = -6, x_2 = 4$.

2) $x^2 - 9x + 20 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-9, c=20$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = 5$.

3) $10n^2 - 9n + 2 = 0$

Это полное квадратное уравнение относительно переменной $n$ с коэффициентами $a=10, b=-9, c=2$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{9 - 1}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

$n_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{9 + 1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Ответ: $n_1 = \frac{2}{5}, n_2 = \frac{1}{2}$.

4) $21y^2 - 2y - 3 = 0$

Это полное квадратное уравнение относительно переменной $y$ с коэффициентами $a=21, b=-2, c=-3$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-3) = 4 + 252 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{256}}{2 \cdot 21} = \frac{2 - 16}{42} = \frac{-14}{42} = -\frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{256}}{2 \cdot 21} = \frac{2 + 16}{42} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}$

Ответ: $y_1 = -\frac{1}{3}, y_2 = \frac{3}{7}$.

5) $x^2 + 8x - 13 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=8, c=-13$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 64 + 52 = 116$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Поскольку $\sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}$, найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{29}}{2} = -4 \pm \sqrt{29}$

Ответ: $x_1 = -4 - \sqrt{29}, x_2 = -4 + \sqrt{29}$.

6) $2x^2 - 4x - 17 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=2, b=-4, c=-17$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 16 + 136 = 152$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Поскольку $\sqrt{152} = \sqrt{4 \cdot 38} = 2\sqrt{38}$, найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{152}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{38}}{4} = \frac{2(2 \pm \sqrt{38})}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{38}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{38}}{2}, x_2 = \frac{2 + \sqrt{38}}{2}$.

7) $9x^2 + 42x + 49 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Действительно, $9x^2 = (3x)^2$, $49 = 7^2$, а $42x = 2 \cdot (3x) \cdot 7$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(3x + 7)^2 = 0$

Это уравнение имеет один корень (кратности 2):

$3x + 7 = 0$

$3x = -7$

$x = -\frac{7}{3}$

(Проверка через дискриминант: $D = 42^2 - 4 \cdot 9 \cdot 49 = 1764 - 1764 = 0$, что подтверждает наличие одного корня).

Ответ: $x = -\frac{7}{3}$.

8) $x^2 - 10x + 37 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-10, c=37$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 37 = 100 - 148 = -48$

Так как $D < 0$, дискриминант отрицателен, и, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.