Номер 130, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 130, страница 52.

Условие.

130. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если один из его катетов на 18 см меньше гипотенузы и на 17 см меньше другого катета.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим стороны прямоугольного треугольника: $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

По условию задачи, один из катетов (пусть это будет катет $a$) на 18 см меньше гипотенузы и на 17 см меньше другого катета. Запишем эти соотношения в виде уравнений:

$a = c - 18$

$a = b - 17$

Из этих уравнений выразим гипотенузу $c$ и второй катет $b$ через катет $a$:

$c = a + 18$

$b = a + 17$

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим выражения для $b$ и $c$ в уравнение теоремы Пифагора:

$a^2 + (a + 17)^2 = (a + 18)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$a^2 + (a^2 + 2 \cdot a \cdot 17 + 17^2) = a^2 + 2 \cdot a \cdot 18 + 18^2$

$a^2 + a^2 + 34a + 289 = a^2 + 36a + 324$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2a^2 + 34a + 289 - a^2 - 36a - 324 = 0$

В результате получим квадратное уравнение:

$a^2 - 2a - 35 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

Поскольку дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два корня. Найдем их:

$a_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$a_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Длина стороны треугольника не может быть отрицательной, поэтому корень $a = -5$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, длина первого катета равна 7 см.

Теперь можем найти длины двух других сторон:

Второй катет: $b = a + 17 = 7 + 17 = 24$ см.

Гипотенуза: $c = a + 18 = 7 + 18 = 25$ см.

Проверим правильность решения, подставив найденные значения в теорему Пифагора:

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

$25^2 = 625$

$625 = 625$. Равенство выполняется, следовательно, стороны найдены верно.

Ответ: стороны прямоугольного треугольника равны 7 см, 24 см и 25 см.