Номер 134, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 134, страница 52.

Условие.

134. Сколько сторон имеет многоугольник, если в нём можно провести 27 диагоналей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомое количество сторон многоугольника равно $n$. Число сторон многоугольника равно числу его вершин.

Количество диагоналей $d$ в выпуклом $n$-угольнике определяется по формуле:
$d = \frac{n(n-3)}{2}$
Эта формула получается из того, что из каждой из $n$ вершин можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в саму себя и в две соседние вершины). Поскольку каждая диагональ соединяет две вершины, то произведение $n(n-3)$ нужно разделить на 2, чтобы не считать каждую диагональ дважды.

Согласно условию задачи, в многоугольнике можно провести 27 диагоналей, то есть $d=27$. Подставим это значение в формулу:
$27 = \frac{n(n-3)}{2}$

Для решения этого уравнения сначала умножим обе его части на 2:
$54 = n(n-3)$

Теперь раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:
$54 = n^2 - 3n$
$n^2 - 3n - 54 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$n_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку количество сторон многоугольника $n$ должно быть целым положительным числом (и $n \ge 3$), корень $n_2 = -6$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи.

Следовательно, единственным подходящим решением является $n=9$. Таким образом, многоугольник имеет 9 сторон.

Ответ: 9.