Номер 139, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 139, страница 52.

Условие.

139. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $x^2 + (1 - 3a)x + 2a^2 - 2 = 0;$

2) $x^2 - (5a + 7)x + 35a = 0;$

3) $4(a + 1)x^2 + (a - 3)x - 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Данное уравнение $x^2 + (1-3a)x + 2a^2 - 2 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$ при любом значении параметра $a$. Найдем его дискриминант.
$D = (1-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 - 2) = 1 - 6a + 9a^2 - 8a^2 + 8 = a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.
Поскольку дискриминант $D = (a-3)^2 \ge 0$ при любом значении $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем корни по общей формуле корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-(1-3a) \pm \sqrt{(a-3)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{3a-1 \pm |a-3|}{2}$.
Рассмотрим два корня:
$x_1 = \frac{3a-1 + (a-3)}{2} = \frac{4a-4}{2} = 2a-2$.
$x_2 = \frac{3a-1 - (a-3)}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1$.
Эти выражения являются корнями уравнения независимо от знака выражения $a-3$. При $a=3$ дискриминант равен нулю, и корни совпадают: $x_1 = 2(3)-2 = 4$, $x_2 = 3+1 = 4$.
Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1=a+1, x_2=2a-2$.

2) Уравнение $x^2 - (5a+7)x + 35a = 0$ является квадратным относительно $x$ при любом $a$. Найдем его дискриминант.
$D = (-(5a+7))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (35a) = (5a+7)^2 - 140a = 25a^2 + 70a + 49 - 140a = 25a^2 - 70a + 49 = (5a-7)^2$.
Так как $D = (5a-7)^2 \ge 0$ при любом $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем корни по формуле:
$x = \frac{-(-(5a+7)) \pm \sqrt{(5a-7)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{5a+7 \pm |5a-7|}{2}$.
Найдем два корня:
$x_1 = \frac{5a+7 + (5a-7)}{2} = \frac{10a}{2} = 5a$.
$x_2 = \frac{5a+7 - (5a-7)}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
При $a=7/5$ дискриминант равен нулю, и корни совпадают: $x_1=5(7/5)=7, x_2=7$.
Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1=7, x_2=5a$.

3) В уравнении $4(a+1)x^2 + (a-3)x - 1 = 0$ коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: Уравнение является линейным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $4(a+1)=0$, то есть $a=-1$.
Подставим $a=-1$ в исходное уравнение:
$4(-1+1)x^2 + (-1-3)x - 1 = 0$
$0 \cdot x^2 - 4x - 1 = 0$
$-4x = 1$
$x = -1/4$.
Случай 2: Уравнение является квадратным.
Это происходит при $a \neq -1$. Найдем дискриминант:
$D = (a-3)^2 - 4 \cdot 4(a+1) \cdot (-1) = a^2 - 6a + 9 + 16(a+1) = a^2 - 6a + 9 + 16a + 16 = a^2 + 10a + 25 = (a+5)^2$.
Так как $D=(a+5)^2 \ge 0$, при $a \neq -1$ уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем корни по формуле:
$x = \frac{-(a-3) \pm \sqrt{(a+5)^2}}{2 \cdot 4(a+1)} = \frac{3-a \pm (a+5)}{8(a+1)}$.
$x_1 = \frac{3-a + (a+5)}{8(a+1)} = \frac{8}{8(a+1)} = \frac{1}{a+1}$.
$x_2 = \frac{3-a - (a+5)}{8(a+1)} = \frac{-2a-2}{8(a+1)} = \frac{-2(a+1)}{8(a+1)} = -\frac{1}{4}$.
Эти корни различны, если $D > 0$, то есть $a \neq -5$. Если $a=-5$, то $x_1 = \frac{1}{-5+1} = -1/4$, и корни совпадают.
Объединим результаты:
- при $a=-1$, корень один: $x = -1/4$.
- при $a \neq -1$, корни: $x_1 = -1/4$ и $x_2 = \frac{1}{a+1}$.
Ответ: если $a=-1$, то $x=-1/4$; если $a \neq -1$, то $x_1 = -1/4, x_2 = \frac{1}{a+1}$.