Номер 140, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 140, страница 53.

Условие.

140. При каких значениях m имеет единственный корень уравнение:

1) $mx^2 - 4x - 9 = 0;$

2) $(m+4)x^2 - (m+5)x + 1 = 0;$

3) $(m-2)x^2 - (2m-4)x + 12 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общий вид уравнения — $ax^2 + bx + c = 0$. Такое уравнение имеет единственный корень в двух случаях:

1. Когда уравнение является линейным, то есть $a=0$. В этом случае оно принимает вид $bx+c=0$. Если при этом $b \neq 0$, то уравнение имеет единственный корень $x = -c/b$. Если же $b=0$, то уравнение либо не имеет корней (при $c \neq 0$), либо имеет бесконечно много корней (при $c=0$).
2. Когда уравнение является квадратным, то есть $a \neq 0$. В этом случае оно имеет единственный корень, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ равен нулю.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1)

Дано уравнение $mx^2 - 4x - 9 = 0$.

Здесь коэффициенты $a=m$, $b=-4$, $c=-9$.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит при $a=m=0$. Уравнение принимает вид:

$0 \cdot x^2 - 4x - 9 = 0$

$-4x - 9 = 0$

Это линейное уравнение с коэффициентом при $x$, равным $-4 \neq 0$. Оно имеет единственный корень $x = -9/4$. Значит, $m=0$ является решением задачи.

Случай 2: Уравнение является квадратным.

Это происходит при $a=m \neq 0$. Уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант $D=0$.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot m \cdot (-9) = 16 + 36m$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$16 + 36m = 0$

$36m = -16$

$m = -16/36 = -4/9$.

Это значение удовлетворяет условию $m \neq 0$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $m=0$ и $m=-4/9$.

Ответ: $m \in \{0; -4/9\}$.

2)

Дано уравнение $(m+4)x^2 - (m+5)x + 1 = 0$.

Здесь коэффициенты $a=m+4$, $b=-(m+5)$, $c=1$.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит при $a = m+4 = 0$, то есть $m=-4$. Подставим это значение в уравнение:

$(-4+4)x^2 - (-4+5)x + 1 = 0$

$0 \cdot x^2 - 1 \cdot x + 1 = 0$

$-x + 1 = 0$

Это линейное уравнение с коэффициентом при $x$, равным $-1 \neq 0$. Оно имеет единственный корень $x=1$. Значит, $m=-4$ является решением задачи.

Случай 2: Уравнение является квадратным.

Это происходит при $a = m+4 \neq 0$, то есть $m \neq -4$. Уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант $D=0$.

$D = b^2 - 4ac = (-(m+5))^2 - 4 \cdot (m+4) \cdot 1 = (m+5)^2 - 4(m+4)$.

$D = (m^2 + 10m + 25) - (4m + 16) = m^2 + 6m + 9 = (m+3)^2$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$(m+3)^2 = 0$

$m+3 = 0$

$m = -3$.

Это значение удовлетворяет условию $m \neq -4$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $m=-4$ и $m=-3$.

Ответ: $m \in \{-4; -3\}$.

3)

Дано уравнение $(m-2)x^2 - (2m-4)x + 12 = 0$.

Здесь коэффициенты $a=m-2$, $b=-(2m-4)=-2(m-2)$, $c=12$.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит при $a = m-2 = 0$, то есть $m=2$. Подставим это значение в уравнение:

$(2-2)x^2 - (2 \cdot 2 - 4)x + 12 = 0$

$0 \cdot x^2 - (4-4)x + 12 = 0$

$0 \cdot x^2 - 0 \cdot x + 12 = 0$

$12 = 0$.

Получено неверное равенство. Это означает, что при $m=2$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: Уравнение является квадратным.

Это происходит при $a = m-2 \neq 0$, то есть $m \neq 2$. Уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант $D=0$.

$D = b^2 - 4ac = (-2(m-2))^2 - 4 \cdot (m-2) \cdot 12$.

$D = 4(m-2)^2 - 48(m-2)$.

Вынесем общий множитель $4(m-2)$ за скобки:

$D = 4(m-2)( (m-2) - 12 ) = 4(m-2)(m-14)$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$4(m-2)(m-14) = 0$.

Поскольку мы рассматриваем случай $m \neq 2$, то множитель $(m-2)$ не равен нулю. Следовательно, равенство возможно только если второй множитель равен нулю:

$m-14 = 0$

$m = 14$.

Это значение удовлетворяет условию $m \neq 2$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень только в одном случае, при $m=14$.

Ответ: $m=14$.