Номер 135, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 135, страница 52.

Условие.

135. Решите уравнение:

1) $|x^2 + 5x - 3| = 3;$

2) $x^2 - |x| - 2 = 0;$

3) $x|x| + 7x - 6 = 0;$

4) $x^2 - 5\sqrt{x^2} - 36 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное уравнение: $|x^2 + 5x - 3| = 3$.

Уравнение вида $|A| = B$ (где $B>0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.

Рассмотрим оба случая:

а) $x^2 + 5x - 3 = 3$

Перенесем 3 в левую часть:

$x^2 + 5x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $-6$. Подбором находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

б) $x^2 + 5x - 3 = -3$

Перенесем -3 в левую часть:

$x^2 + 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_3 = 0$, $x_4 = -5$.

Объединяя все найденные корни, получаем итоговое решение.

Ответ: $-6; -5; 0; 1$.

2) Исходное уравнение: $x^2 - |x| - 2 = 0$.

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение в виде:

$|x|^2 - |x| - 2 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $y = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - y - 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-2$. Корни:

$y_1 = 2$, $y_2 = -1$.

Выполним обратную замену. Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому является посторонним.

Рассмотрим $y_1 = 2$:

$|x| = 2$

Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

3) Исходное уравнение: $x|x| + 7x - 6 = 0$.

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x \cdot x + 7x - 6 = 0$

$x^2 + 7x - 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49 + 24 = 73$.

Корни уравнения: $x = \frac{-7 \pm \sqrt{73}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x \ge 0$.

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{73}}{2}$. Так как $8 < \sqrt{73} < 9$, то $-7 + \sqrt{73} > 0$, следовательно, $x_1 > 0$. Этот корень подходит.

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{73}}{2}$. Этот корень очевидно отрицательный, поэтому он не удовлетворяет условию $x \ge 0$ и является посторонним для данного случая.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x \cdot (-x) + 7x - 6 = 0$

$-x^2 + 7x - 6 = 0$

Умножим обе части на $-1$ для удобства:

$x^2 - 7x + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $6$. Корни:

$x_3 = 1$, $x_4 = 6$.

Оба корня положительные, они не удовлетворяют условию $x < 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $\frac{-7 + \sqrt{73}}{2}$.

4) Исходное уравнение: $x^2 - 5\sqrt{x^2} - 36 = 0$.

Используем свойство корня: $\sqrt{x^2} = |x|$. Уравнение преобразуется к виду:

$x^2 - 5|x| - 36 = 0$.

Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать следующим образом:

$|x|^2 - 5|x| - 36 = 0$.

Это уравнение аналогично уравнению из пункта 2. Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 - 5y - 36 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $-36$. Корни:

$y_1 = 9$, $y_2 = -4$.

Выполним обратную замену. Корень $y_2 = -4$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Рассмотрим $y_1 = 9$:

$|x| = 9$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 9$ и $x_2 = -9$.

Ответ: $-9; 9$.