Номер 142, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 142, страница 53.

Условие.

142. Найдите коэффициенты $b$ и $c$ уравнения $x^2 + bx + c = 0,$

если его корнями являются числа:

1) $-9$ и $12$;

2) $-\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{7}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме, если $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения, то выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -b$.
• Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = c$.

Используем эти формулы для нахождения коэффициентов $b$ и $c$ в каждом из случаев.

1) Корнями уравнения являются числа -9 и 12.

Пусть $x_1 = -9$ и $x_2 = 12$.

Найдём коэффициент $b$ через сумму корней:

$x_1 + x_2 = -9 + 12 = 3$

Так как $x_1 + x_2 = -b$, то получаем $3 = -b$, откуда $b = -3$.

Найдём коэффициент $c$ через произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (-9) \cdot 12 = -108$

Так как $x_1 \cdot x_2 = c$, то $c = -108$.

Ответ: $b = -3$, $c = -108$.

2) Корнями уравнения являются числа $-\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{7}$.

Пусть $x_1 = -\frac{1}{4}$ и $x_2 = \frac{1}{7}$.

Найдём коэффициент $b$ через сумму корней. Для этого приведём дроби к общему знаменателю 28:

$x_1 + x_2 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{7} = -\frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 4}{7 \cdot 4} = -\frac{7}{28} + \frac{4}{28} = -\frac{3}{28}$

Так как $x_1 + x_2 = -b$, то получаем $-\frac{3}{28} = -b$, откуда $b = \frac{3}{28}$.

Найдём коэффициент $c$ через произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{1}{7}\right) = -\frac{1}{28}$

Так как $x_1 \cdot x_2 = c$, то $c = -\frac{1}{28}$.

Ответ: $b = \frac{3}{28}$, $c = -\frac{1}{28}$.