Номер 143, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 143, страница 53.

Условие.

143. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) $2$ и $7$;

2) $-4$ и $11$;

3) $\frac{2}{5}$ и $3$;

4) $0,3$ и $-5$;

5) $-\frac{3}{7}$ и $-\frac{1}{2}$;

6) $2 - \sqrt{11}$ и $2 + \sqrt{11}$;

7) $\sqrt{13}$ и $-\sqrt{13}$;

8) $-4 - 3\sqrt{5}$ и $-4 + 3\sqrt{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) 2 и 7;

Чтобы составить квадратное уравнение с корнями $x_1$ и $x_2$, воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Уравнение будет иметь вид $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
В данном случае корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.
Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = 2 + 7 = 9$.
Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 7 = 14$.
Подставим полученные значения в формулу: $x^2 - (9)x + 14 = 0$.
Получаем уравнение $x^2 - 9x + 14 = 0$. Его коэффициенты (1, -9, 14) являются целыми числами, что соответствует условию задачи.

Ответ: $x^2 - 9x + 14 = 0$.

2) -4 и 11;

Используем формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$ для корней $x_1 = -4$ и $x_2 = 11$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -4 + 11 = 7$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 11 = -44$.
Подставляем в уравнение: $x^2 - (7)x + (-44) = 0$.
Получаем уравнение $x^2 - 7x - 44 = 0$. Коэффициенты (1, -7, -44) являются целыми.

Ответ: $x^2 - 7x - 44 = 0$.

3) $ \frac{2}{5} $ и 3;

Даны корни $x_1 = \frac{2}{5}$ и $x_2 = 3$.
Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = \frac{2}{5} + 3 = \frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{17}{5}$.
Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{5} \cdot 3 = \frac{6}{5}$.
Подставляем в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$: $x^2 - \frac{17}{5}x + \frac{6}{5} = 0$.
Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, то есть на 5:
$5 \cdot (x^2 - \frac{17}{5}x + \frac{6}{5}) = 5 \cdot 0$
$5x^2 - 17x + 6 = 0$.

Ответ: $5x^2 - 17x + 6 = 0$.

4) 0,3 и -5;

Представим 0,3 в виде обыкновенной дроби: $0,3 = \frac{3}{10}$. Корни: $x_1 = \frac{3}{10}$ и $x_2 = -5$.
Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = \frac{3}{10} + (-5) = \frac{3}{10} - \frac{50}{10} = -\frac{47}{10}$.
Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{10} \cdot (-5) = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.
Подставляем в формулу: $x^2 - (-\frac{47}{10})x + (-\frac{3}{2}) = 0$, то есть $x^2 + \frac{47}{10}x - \frac{3}{2} = 0$.
Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей (10 и 2), то есть на 10:
$10 \cdot (x^2 + \frac{47}{10}x - \frac{3}{2}) = 10 \cdot 0$
$10x^2 + 47x - 15 = 0$.

Ответ: $10x^2 + 47x - 15 = 0$.

5) $ -\frac{3}{7} $ и $ -\frac{1}{2} $;

Даны корни $x_1 = -\frac{3}{7}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.
Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = -\frac{3}{7} - \frac{1}{2} = -\frac{6}{14} - \frac{7}{14} = -\frac{13}{14}$.
Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-\frac{3}{7}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{14}$.
Подставляем в формулу: $x^2 - (-\frac{13}{14})x + \frac{3}{14} = 0$, то есть $x^2 + \frac{13}{14}x + \frac{3}{14} = 0$.
Умножим обе части уравнения на 14, чтобы избавиться от дробей:
$14 \cdot (x^2 + \frac{13}{14}x + \frac{3}{14}) = 14 \cdot 0$
$14x^2 + 13x + 3 = 0$.

Ответ: $14x^2 + 13x + 3 = 0$.

6) $ 2 - \sqrt{11} $ и $ 2 + \sqrt{11} $;

Даны сопряженные иррациональные корни $x_1 = 2 - \sqrt{11}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{11}$.
Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{11}) + (2 + \sqrt{11}) = 4$.
Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{11})(2 + \sqrt{11}) = 2^2 - (\sqrt{11})^2 = 4 - 11 = -7$.
Подставляем в уравнение $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$: $x^2 - (4)x + (-7) = 0$.
Получаем уравнение $x^2 - 4x - 7 = 0$. Коэффициенты (1, -4, -7) являются целыми.

Ответ: $x^2 - 4x - 7 = 0$.

7) $ \sqrt{13} $ и $ -\sqrt{13} $;

Даны корни $x_1 = \sqrt{13}$ и $x_2 = -\sqrt{13}$.
Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = \sqrt{13} + (-\sqrt{13}) = 0$.
Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 = (\sqrt{13}) \cdot (-\sqrt{13}) = -(\sqrt{13})^2 = -13$.
Подставляем в уравнение: $x^2 - (0)x + (-13) = 0$.
Получаем уравнение $x^2 - 13 = 0$. Коэффициенты (1, 0, -13) являются целыми.

Ответ: $x^2 - 13 = 0$.

8) $ -4 - 3\sqrt{5} $ и $ -4 + 3\sqrt{5} $;

Даны сопряженные иррациональные корни $x_1 = -4 - 3\sqrt{5}$ и $x_2 = -4 + 3\sqrt{5}$.
Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (-4 - 3\sqrt{5}) + (-4 + 3\sqrt{5}) = -8$.
Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$x_1 \cdot x_2 = (-4 - 3\sqrt{5})(-4 + 3\sqrt{5}) = (-4)^2 - (3\sqrt{5})^2 = 16 - (9 \cdot 5) = 16 - 45 = -29$.
Подставляем в уравнение: $x^2 - (-8)x + (-29) = 0$.
Получаем уравнение $x^2 + 8x - 29 = 0$. Коэффициенты (1, 8, -29) являются целыми.

Ответ: $x^2 + 8x - 29 = 0$.