Номер 146, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 146, страница 53.

Условие.

146. Число $-\frac{1}{5}$ является корнем уравнения $10x^2 + kx - 7 = 0$. Найдите значение $k$ и второй корень уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано квадратное уравнение $10x^2 + kx - 7 = 0$ и один из его корней $x_1 = -\frac{1}{5}$.

Найдите значение k

Поскольку число $-\frac{1}{5}$ является корнем уравнения, оно должно обращать уравнение в верное равенство при подстановке вместо $x$. Подставим $x = -\frac{1}{5}$ в исходное уравнение:

$10\left(-\frac{1}{5}\right)^2 + k\left(-\frac{1}{5}\right) - 7 = 0$

Выполним вычисления:

$10\left(\frac{1}{25}\right) - \frac{k}{5} - 7 = 0$

$\frac{10}{25} - \frac{k}{5} - 7 = 0$

Сократим дробь $\frac{10}{25}$ на 5:

$\frac{2}{5} - \frac{k}{5} - 7 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $k$:

$\frac{2-k}{5} = 7$

$2 - k = 7 \cdot 5$

$2 - k = 35$

$-k = 35 - 2$

$-k = 33$

$k = -33$

Ответ: $k = -33$.

Найдите второй корень уравнения

Теперь, когда мы знаем значение $k$, уравнение принимает вид:

$10x^2 - 33x - 7 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ произведение корней равно $q$, а для уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ произведение корней равно $\frac{c}{a}$.

В нашем случае $a=10$, $b=-33$, $c=-7$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-7}{10}$

Подставим известный корень $x_1 = -\frac{1}{5}$:

$\left(-\frac{1}{5}\right) \cdot x_2 = -\frac{7}{10}$

Выразим $x_2$:

$x_2 = \left(-\frac{7}{10}\right) \div \left(-\frac{1}{5}\right)$

$x_2 = \frac{7}{10} \cdot \frac{5}{1}$

$x_2 = \frac{35}{10} = 3.5$

Ответ: второй корень уравнения равен $3.5$.