Номер 151, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 151, страница 54.

Условие.

151. Корни уравнения $x^2 + 21x + a = 0$ относятся как $4 : 3$.

Найдите корни уравнения и значение $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано квадратное уравнение $x^2 + 21x + a = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, корни относятся как 4 к 3. Это можно записать в виде $\frac{x_1}{x_2} = \frac{4}{3}$. Введем коэффициент пропорциональности $k$, тогда корни можно представить как $x_1 = 4k$ и $x_2 = 3k$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ справедливы соотношения:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 + 21x + a = 0$ коэффициенты равны $p = 21$ и $q = a$. Применим теорему Виета:
1) Сумма корней: $x_1 + x_2 = -21$
2) Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a$

Подставим выражения для корней через $k$ в первое соотношение:
$4k + 3k = -21$
$7k = -21$
$k = \frac{-21}{7} = -3$

Теперь, зная $k$, мы можем найти сами корни уравнения:
$x_1 = 4k = 4 \cdot (-3) = -12$
$x_2 = 3k = 3 \cdot (-3) = -9$

Для нахождения значения $a$ подставим найденные корни во второе соотношение теоремы Виета:
$a = x_1 \cdot x_2 = (-12) \cdot (-9) = 108$

Ответ: корни уравнения: -12 и -9; значение $a = 108$.