Номер 157, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 157, страница 54.

Условие.

157. Найдите корни квадратного трёхчлена:

1) $x^2 - 13x + 40;$

2) $6x^2 + x - 1;$

3) $x^2 - 8x + 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни уравнения находятся по общей формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ - дискриминант.

1) $x^2 - 13x + 40$

Приравниваем трехчлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 - 13x + 40 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение (коэффициент при $x^2$ равен 1), поэтому можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть равна $-(-13)=13$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть равно $40$. Методом подбора находим, что эти числа — 5 и 8, так как $5 + 8 = 13$ и $5 \cdot 8 = 40$.
Также можно найти корни через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-13$, $c=40$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле:
$x_1 = \frac{-(-13) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{-(-13) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Ответ: 5; 8.

2) $6x^2 + x - 1$

Приравниваем трехчлен к нулю: $6x^2 + x - 1 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=6$, $b=1$, $c=-1$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$.

3) $x^2 - 8x + 5$

Приравниваем трехчлен к нулю: $x^2 - 8x + 5 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-8$, $c=5$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 64 - 20 = 44$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле:
$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 11}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{11}}{2}$.
Упростим выражение, разделив почленно числитель на 2: $x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{11}$.
Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = 4 - \sqrt{11}$.
$x_2 = 4 + \sqrt{11}$.
Ответ: $4 - \sqrt{11}$; $4 + \sqrt{11}$.