Номер 161, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Упростите выражение:

1) $ \frac{3y^2 - 10y + 8}{4y^2 - 36} \cdot \frac{y - 3}{y - 2} + \frac{0,25 - y}{y + 3} $;

2) $ \left( \frac{y - 1}{5y^2 - 16y + 3} - \frac{3}{y^2 - 9} \right) : \frac{y - 13}{2y^3 - 18y} $;

3) $ \left( \frac{6x}{x^2 - x - 2} + \frac{9}{x^2 - 4} \right) : \frac{2x + 1}{x^2 + 3x + 2} - \frac{x + 13}{x - 2} $.

1) Упростим выражение $ \frac{3y^2 - 10y + 8}{4y^2 - 36} \cdot \frac{y - 3}{y - 2} + \frac{0.25 - y}{y + 3} $.

Сначала выполним умножение. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.

Разложим числитель $3y^2 - 10y + 8$. Найдем корни квадратного уравнения $3y^2 - 10y + 8 = 0$.
Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$.
Корни: $y_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$; $y_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Тогда $3y^2 - 10y + 8 = 3(y-2)(y-\frac{4}{3}) = (y-2)(3y-4)$.

Разложим знаменатель $4y^2 - 36$.
$4y^2 - 36 = 4(y^2 - 9) = 4(y-3)(y+3)$.

Теперь выполним умножение:
$ \frac{(y-2)(3y-4)}{4(y-3)(y+3)} \cdot \frac{y-3}{y-2} $

Сокращаем общие множители $(y-2)$ и $(y-3)$:
$ \frac{3y-4}{4(y+3)} $

Теперь выполним сложение. Представим $0,25$ как $\frac{1}{4}$ во второй дроби:
$ \frac{0,25 - y}{y + 3} = \frac{\frac{1}{4} - y}{y+3} = \frac{\frac{1-4y}{4}}{y+3} = \frac{1-4y}{4(y+3)} $.

Сложим полученные дроби:
$ \frac{3y-4}{4(y+3)} + \frac{1-4y}{4(y+3)} = \frac{3y-4+1-4y}{4(y+3)} = \frac{-y-3}{4(y+3)} = \frac{-(y+3)}{4(y+3)} = -\frac{1}{4} $.

Ответ: $-\frac{1}{4}$

2) Упростим выражение $ \left( \frac{y - 1}{5y^2 - 16y + 3} - \frac{3}{y^2 - 9} \right) : \frac{y - 13}{2y^3 - 18y} $.

Сначала выполним вычитание в скобках. Разложим знаменатели на множители.

Разложим $5y^2 - 16y + 3$. Найдем корни уравнения $5y^2 - 16y + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196$.
Корни: $y_1 = \frac{16 + \sqrt{196}}{10} = \frac{16+14}{10} = 3$; $y_2 = \frac{16 - 14}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Тогда $5y^2 - 16y + 3 = 5(y-3)(y-\frac{1}{5}) = (y-3)(5y-1)$.

Разложим $y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$.

Выражение в скобках примет вид:
$ \frac{y - 1}{(y-3)(5y-1)} - \frac{3}{(y-3)(y+3)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(y-3)(y+3)(5y-1)$:
$ \frac{(y-1)(y+3) - 3(5y-1)}{(y-3)(y+3)(5y-1)} = \frac{y^2+3y-y-3 - (15y-3)}{(y-3)(y+3)(5y-1)} = \frac{y^2+2y-3-15y+3}{(y-3)(y+3)(5y-1)} = \frac{y^2-13y}{(y-3)(y+3)(5y-1)} = \frac{y(y-13)}{(y-3)(y+3)(5y-1)} $.

Теперь разберемся с делителем. Разложим на множители знаменатель $2y^3 - 18y$:
$2y^3 - 18y = 2y(y^2-9) = 2y(y-3)(y+3)$.

Выполним деление (умножим на обратную дробь):
$ \frac{y(y-13)}{(y-3)(y+3)(5y-1)} \cdot \frac{2y(y-3)(y+3)}{y-13} $

Сокращаем общие множители $y-13$, $y-3$ и $y+3$:
$ \frac{y}{5y-1} \cdot 2y = \frac{2y^2}{5y-1} $.

Ответ: $\frac{2y^2}{5y-1}$

3) Упростим выражение $ \left( \frac{6x}{x^2 - x - 2} + \frac{9}{x^2 - 4} \right) : \frac{2x + 1}{x^2 + 3x + 2} - \frac{x + 13}{x - 2} $.

Выполним действия по порядку: сначала в скобках, затем деление, затем вычитание.

1. Сложение в скобках. Разложим знаменатели на множители.
$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ (корни 2 и -1).
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Выражение в скобках:
$ \frac{6x}{(x-2)(x+1)} + \frac{9}{(x-2)(x+2)} $

Общий знаменатель $(x-2)(x+1)(x+2)$:
$ \frac{6x(x+2) + 9(x+1)}{(x-2)(x+1)(x+2)} = \frac{6x^2+12x+9x+9}{(x-2)(x+1)(x+2)} = \frac{6x^2+21x+9}{(x-2)(x+1)(x+2)} $.

Разложим числитель $6x^2+21x+9 = 3(2x^2+7x+3)$.
Найдем корни $2x^2+7x+3=0$. $D=49-24=25$. $x_1=\frac{-7+5}{4}=-\frac{1}{2}$, $x_2=\frac{-7-5}{4}=-3$.
$2x^2+7x+3 = 2(x+\frac{1}{2})(x+3) = (2x+1)(x+3)$.
Значит, числитель равен $3(2x+1)(x+3)$.

Результат в скобках: $ \frac{3(2x+1)(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+2)} $.

2. Деление. Разложим знаменатель делителя $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$ (корни -1 и -2).
$ \frac{3(2x+1)(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+2)} : \frac{2x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{3(2x+1)(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+2)} \cdot \frac{(x+1)(x+2)}{2x+1} $.

Сокращаем $(2x+1)$, $(x+1)$, $(x+2)$:
$ \frac{3(x+3)}{x-2} $.

3. Вычитание.
$ \frac{3(x+3)}{x-2} - \frac{x+13}{x-2} = \frac{3(x+3)-(x+13)}{x-2} = \frac{3x+9-x-13}{x-2} = \frac{2x-4}{x-2} $.

Вынесем 2 за скобку в числителе:
$ \frac{2(x-2)}{x-2} = 2 $.

Ответ: $2$