Номер 168, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2 - номер 168, страница 56.

Условие.

168. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - a} = 0;$

2) $\frac{x - a}{x^2 - 3x + 2} = 0;$

3) $\frac{x^2 - (a + 3)x + 3a}{x - 1} = 0;$

4) $\frac{x^2 - (a - 1)x + a - 2}{x - 1} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим уравнение $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - a} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь нужно учесть условие $x - a \neq 0$, то есть $x \neq a$. Это означает, что найденные корни не должны совпадать со значением параметра $a$.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если $a = 1$, то корень $x = 1$ является посторонним, так как знаменатель обращается в ноль. Единственным решением будет $x = 2$.

2. Если $a = 2$, то корень $x = 2$ является посторонним. Единственным решением будет $x = 1$.

3. Если $a \neq 1$ и $a \neq 2$, то оба корня, $x = 1$ и $x = 2$, удовлетворяют условию $x \neq a$ и являются решениями.

Ответ: если $a=1$, то $x=2$; если $a=2$, то $x=1$; если $a \neq 1$ и $a \neq 2$, то $x_1=1$, $x_2=2$.

2) Решим уравнение $\frac{x - a}{x^2 - 3x + 2} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - a = 0 \\ x^2 - 3x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x = a$.

Второе условие $x^2 - 3x + 2 \neq 0$ означает, что $x$ не может быть равен корням этого квадратного трехчлена. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ это $x=1$ и $x=2$. Таким образом, $x \neq 1$ и $x \neq 2$.

Следовательно, решение $x=a$ существует только тогда, когда $a$ не совпадает с запрещенными значениями.

1. Если $a = 1$ или $a = 2$, то корень $x=a$ совпадает с одним из запрещенных значений, и уравнение не имеет решений.

2. Если $a \neq 1$ и $a \neq 2$, то $x=a$ является единственным решением.

Ответ: если $a=1$ или $a=2$, то корней нет; если $a \neq 1$ и $a \neq 2$, то $x=a$.

3) Решим уравнение $\frac{x^2 - (a + 3)x + 3a}{x - 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - (a + 3)x + 3a = 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$

Решим квадратное уравнение $x^2 - (a + 3)x + 3a = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = a$ и $x_2 = 3$. (Проверка: $x_1+x_2=a+3$, $x_1 \cdot x_2=3a$).

Условие знаменателя $x - 1 \neq 0$ означает, что $x \neq 1$.

Рассмотрим найденные корни:

Корень $x=3$ всегда является решением, так как $3 \neq 1$.

Корень $x=a$ является решением, если $a \neq 1$.

Рассмотрим случаи для параметра $a$:

1. Если $a = 1$, то корень $x=a$ становится $x=1$, что недопустимо. Решением остается только $x=3$.

2. Если $a \neq 1$, то корень $x=a$ является решением. Корень $x=3$ также является решением. Таким образом, при $a \neq 1$ решениями являются $x=a$ и $x=3$. (Заметим, что при $a=3$ эти корни совпадают, и решением будет только $x=3$, что соответствует общей формуле).

Ответ: если $a=1$, то $x=3$; если $a \neq 1$, то $x_1=a$, $x_2=3$.

4) Решим уравнение $\frac{x^2 - (a - 1)x + a - 2}{x - 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - (a - 1)x + a - 2 = 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$

Решим квадратное уравнение $x^2 - (a - 1)x + a - 2 = 0$. Заметим, что при $x=1$ уравнение обращается в верное равенство: $1^2 - (a - 1) \cdot 1 + a - 2 = 1 - a + 1 + a - 2 = 0$. Значит, $x_1=1$ является корнем при любом $a$. Второй корень найдем по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = a-2$, откуда $1 \cdot x_2 = a-2$, то есть $x_2 = a-2$.

Итак, корни числителя: $x_1=1$ и $x_2=a-2$.

Условие знаменателя $x \neq 1$. Это означает, что корень $x=1$ всегда является посторонним.

Единственным возможным решением является $x = a-2$.

Это решение будет существовать, если оно не совпадает с запрещенным значением $x=1$. Проверим, при каких $a$ это возможно: $a-2 = 1$, то есть $a=3$.

1. Если $a=3$, то второй корень числителя $x=a-2 = 3-2 = 1$. Оба корня числителя совпадают и равны 1, что не удовлетворяет условию $x \neq 1$. В этом случае решений нет.

2. Если $a \neq 3$, то $a-2 \neq 1$. Корень $x=a-2$ не совпадает с запрещенным значением и является единственным решением уравнения.

Ответ: если $a=3$, то корней нет; если $a \neq 3$, то $x=a-2$.