Номер 168, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2014 - 2025
Цвет обложки: розовый, фиолетовый с папками
ISBN: 978-5-09-079636-1
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 2. Упражнения - номер 168, страница 56.
№168 (с. 56)
Условие. №168 (с. 56)
скриншот условия

168. Для каждого значения a решите уравнение:
1) $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - a} = 0;$
2) $\frac{x - a}{x^2 - 3x + 2} = 0;$
3) $\frac{x^2 - (a + 3)x + 3a}{x - 1} = 0;$
4) $\frac{x^2 - (a - 1)x + a - 2}{x - 1} = 0.$
Решение 1. №168 (с. 56)

Решение 2. №168 (с. 56)


Решение 3. №168 (с. 56)
1) Решим уравнение $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - a} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:
$\begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$
Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Теперь нужно учесть условие $x - a \neq 0$, то есть $x \neq a$. Это означает, что найденные корни не должны совпадать со значением параметра $a$.
Рассмотрим следующие случаи:
1. Если $a = 1$, то корень $x = 1$ является посторонним, так как знаменатель обращается в ноль. Единственным решением будет $x = 2$.
2. Если $a = 2$, то корень $x = 2$ является посторонним. Единственным решением будет $x = 1$.
3. Если $a \neq 1$ и $a \neq 2$, то оба корня, $x = 1$ и $x = 2$, удовлетворяют условию $x \neq a$ и являются решениями.
Ответ: если $a=1$, то $x=2$; если $a=2$, то $x=1$; если $a \neq 1$ и $a \neq 2$, то $x_1=1$, $x_2=2$.
2) Решим уравнение $\frac{x - a}{x^2 - 3x + 2} = 0$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x - a = 0 \\ x^2 - 3x + 2 \neq 0 \end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $x = a$.
Второе условие $x^2 - 3x + 2 \neq 0$ означает, что $x$ не может быть равен корням этого квадратного трехчлена. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ это $x=1$ и $x=2$. Таким образом, $x \neq 1$ и $x \neq 2$.
Следовательно, решение $x=a$ существует только тогда, когда $a$ не совпадает с запрещенными значениями.
1. Если $a = 1$ или $a = 2$, то корень $x=a$ совпадает с одним из запрещенных значений, и уравнение не имеет решений.
2. Если $a \neq 1$ и $a \neq 2$, то $x=a$ является единственным решением.
Ответ: если $a=1$ или $a=2$, то корней нет; если $a \neq 1$ и $a \neq 2$, то $x=a$.
3) Решим уравнение $\frac{x^2 - (a + 3)x + 3a}{x - 1} = 0$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - (a + 3)x + 3a = 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$
Решим квадратное уравнение $x^2 - (a + 3)x + 3a = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = a$ и $x_2 = 3$. (Проверка: $x_1+x_2=a+3$, $x_1 \cdot x_2=3a$).
Условие знаменателя $x - 1 \neq 0$ означает, что $x \neq 1$.
Рассмотрим найденные корни:
Корень $x=3$ всегда является решением, так как $3 \neq 1$.
Корень $x=a$ является решением, если $a \neq 1$.
Рассмотрим случаи для параметра $a$:
1. Если $a = 1$, то корень $x=a$ становится $x=1$, что недопустимо. Решением остается только $x=3$.
2. Если $a \neq 1$, то корень $x=a$ является решением. Корень $x=3$ также является решением. Таким образом, при $a \neq 1$ решениями являются $x=a$ и $x=3$. (Заметим, что при $a=3$ эти корни совпадают, и решением будет только $x=3$, что соответствует общей формуле).
Ответ: если $a=1$, то $x=3$; если $a \neq 1$, то $x_1=a$, $x_2=3$.
4) Решим уравнение $\frac{x^2 - (a - 1)x + a - 2}{x - 1} = 0$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - (a - 1)x + a - 2 = 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$
Решим квадратное уравнение $x^2 - (a - 1)x + a - 2 = 0$. Заметим, что при $x=1$ уравнение обращается в верное равенство: $1^2 - (a - 1) \cdot 1 + a - 2 = 1 - a + 1 + a - 2 = 0$. Значит, $x_1=1$ является корнем при любом $a$. Второй корень найдем по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = a-2$, откуда $1 \cdot x_2 = a-2$, то есть $x_2 = a-2$.
Итак, корни числителя: $x_1=1$ и $x_2=a-2$.
Условие знаменателя $x \neq 1$. Это означает, что корень $x=1$ всегда является посторонним.
Единственным возможным решением является $x = a-2$.
Это решение будет существовать, если оно не совпадает с запрещенным значением $x=1$. Проверим, при каких $a$ это возможно: $a-2 = 1$, то есть $a=3$.
1. Если $a=3$, то второй корень числителя $x=a-2 = 3-2 = 1$. Оба корня числителя совпадают и равны 1, что не удовлетворяет условию $x \neq 1$. В этом случае решений нет.
2. Если $a \neq 3$, то $a-2 \neq 1$. Корень $x=a-2$ не совпадает с запрещенным значением и является единственным решением уравнения.
Ответ: если $a=3$, то корней нет; если $a \neq 3$, то $x=a-2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 168 расположенного на странице 56 к дидактическим материалам 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №168 (с. 56), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.