Номер 175, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 175, страница 57.

Условие.

175. Бригада рабочих должна была изготовить 900 деталей. В связи с болезнью одного из рабочих каждому из работавших пришлось изготовить на 10 деталей больше, чем планировалось. Сколько рабочих в полном составе бригады?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $x$ — первоначальное количество рабочих в бригаде (полный состав). Тогда по плану каждый рабочий должен был изготовить $\frac{900}{x}$ деталей.

В связи с болезнью одного рабочего, в бригаде осталось $(x-1)$ человек. В результате каждому из оставшихся пришлось изготовить на 10 деталей больше, чем планировалось, то есть $(\frac{900}{x} + 10)$ деталей.

Так как общее количество изготовленных деталей осталось равным 900, мы можем составить уравнение, умножив новое количество рабочих на новое количество деталей, которое изготовил каждый из них: $(x-1)(\frac{900}{x} + 10) = 900$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Раскроем скобки в левой части: $x \cdot \frac{900}{x} + 10x - 1 \cdot \frac{900}{x} - 10 = 900$

$900 + 10x - \frac{900}{x} - 10 = 900$

Вычтем 900 из обеих частей уравнения и упростим: $10x - \frac{900}{x} - 10 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $x$. Это возможно, так как количество рабочих $x$ не может быть равно нулю. $10x \cdot x - \frac{900}{x} \cdot x - 10 \cdot x = 0 \cdot x$ $10x^2 - 900 - 10x = 0$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$ и разделим на 10 для удобства вычислений: $10x^2 - 10x - 900 = 0 \quad | :10$ $x^2 - x - 90 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета. Нам нужны два числа, произведение которых равно $-90$, а сумма равна $1$. Этими числами являются $10$ и $-9$. $x_1 = 10$ $x_2 = -9$

Поскольку $x$ представляет собой количество рабочих, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -9$ не подходит по смыслу задачи. Единственным решением является $x = 10$.

Ответ: 10 рабочих.