Номер 180, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Раствор содержал 140 г воды. Через некоторое время 50 г воды испарили, после чего концентрация соли увеличилась на 10 %. Сколько граммов соли содержит раствор?

Пусть $x$ — масса соли в растворе в граммах.

Изначально в растворе было 140 г воды. Масса всего начального раствора составляла $(140 + x)$ г.

Начальная концентрация соли $C_1$, выраженная в долях от единицы, равна отношению массы соли к массе всего раствора:

$C_1 = \frac{x}{140 + x}$

После испарения 50 г воды, масса воды в растворе стала $140 - 50 = 90$ г.

Масса нового раствора, соответственно, стала $(90 + x)$ г, так как масса соли не изменилась.

Новая концентрация соли $C_2$ стала:

$C_2 = \frac{x}{90 + x}$

По условию задачи, концентрация соли увеличилась на 10%. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 10 процентных пунктов, или 0.1 в долях.

$C_2 - C_1 = 0.1$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение:

$\frac{x}{90 + x} - \frac{x}{140 + x} = 0.1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения:

$x \left( \frac{1}{90 + x} - \frac{1}{140 + x} \right) = 0.1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$x \left( \frac{(140 + x) - (90 + x)}{(90 + x)(140 + x)} \right) = 0.1$

$x \left( \frac{140 + x - 90 - x}{(90 + x)(140 + x)} \right) = 0.1$

$x \left( \frac{50}{(90 + x)(140 + x)} \right) = 0.1$

Теперь преобразуем уравнение:

$\frac{50x}{(90 + x)(140 + x)} = \frac{1}{10}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$50x \cdot 10 = 1 \cdot (90 + x)(140 + x)$

$500x = 90 \cdot 140 + 90x + 140x + x^2$

$500x = 12600 + 230x + x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 230x - 500x + 12600 = 0$

$x^2 - 270x + 12600 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-270)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12600 = 72900 - 50400 = 22500$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{270 + 150}{2} = \frac{420}{2} = 210$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{270 - 150}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Оба корня являются положительными числами, поэтому теоретически оба могут быть решением задачи. Выполним проверку для каждого из найденных значений.

Случай 1: Масса соли равна 60 г.

Начальная концентрация: $C_1 = \frac{60}{140 + 60} = \frac{60}{200} = 0.3$, или 30%.

Конечная концентрация: $C_2 = \frac{60}{90 + 60} = \frac{60}{150} = \frac{2}{5} = 0.4$, или 40%.

Разница концентраций: $40\% - 30\% = 10\%$. Этот ответ удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Масса соли равна 210 г.

Начальная концентрация: $C_1 = \frac{210}{140 + 210} = \frac{210}{350} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5} = 0.6$, или 60%.

Конечная концентрация: $C_2 = \frac{210}{90 + 210} = \frac{210}{300} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10} = 0.7$, или 70%.

Разница концентраций: $70\% - 60\% = 10\%$. Этот ответ также удовлетворяет условию задачи.

Так как условие задачи не содержит дополнительных ограничений, которые позволили бы исключить один из корней, задача имеет два решения.

Ответ: 60 г или 210 г.