Номер 179, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 179, страница 58.

Условие.

179. Слиток меди и цинка, содержавший 5 кг цинка, сплавили с 15 кг цинка. Процентное содержание цинка в новом слитке на 30 % больше, чем в исходном. Сколько килограммов меди содержится в слитке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть масса меди в исходном слитке равна $x$ кг. Тогда общая масса исходного слитка составляет $(x+5)$ кг.

Процентное содержание цинка в исходном слитке ($C_1$) рассчитывается по формуле: $C_1 = \frac{5}{x+5} \times 100\%$.

После добавления 15 кг цинка масса цинка в новом слитке стала равной $5 + 15 = 20$ кг. Общая масса нового слитка стала $(x+5) + 15 = (x+20)$ кг.

Процентное содержание цинка в новом слитке ($C_2$) соответственно равно: $C_2 = \frac{20}{x+20} \times 100\%$.

В условии сказано, что "процентное содержание цинка в новом слитке на 30 % больше, чем в исходном". В задачах подобного типа такая формулировка часто подразумевает увеличение на 30 процентных пунктов, то есть абсолютное изменение процентного значения: $C_2 = C_1 + 30$. Это предположение приводит к целочисленным ответам, что весьма вероятно для школьной задачи. Будем исходить из него.

Составим уравнение на основе этого предположения:

$\frac{20}{x+20} \times 100 = \frac{5}{x+5} \times 100 + 30$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 10:

$\frac{200}{x+20} = \frac{50}{x+5} + 3$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+20)(x+5)$. Так как $x$ — это масса, она должна быть положительной, поэтому знаменатели не могут быть равны нулю.

$200(x+5) = 50(x+20) + 3(x+20)(x+5)$

Раскроем скобки:

$200x + 1000 = 50x + 1000 + 3(x^2 + 5x + 20x + 100)$

Упростим выражение, сократив 1000 с обеих сторон и приведя подобные слагаемые в скобках:

$200x = 50x + 3(x^2 + 25x + 100)$

$200x = 50x + 3x^2 + 75x + 300$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 + (125 - 200)x + 300 = 0$

$3x^2 - 75x + 300 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$x^2 - 25x + 100 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, например, разложением на множители (или по теореме Виета):

$(x-5)(x-20) = 0$

Отсюда мы получаем два возможных значения массы меди: $x_1 = 5$ кг и $x_2 = 20$ кг.

Поскольку оба корня положительны, необходимо проверить, удовлетворяют ли оба решения условию задачи.

Проверка для $x = 5$ кг:

Исходное содержание цинка: $C_1 = \frac{5}{5+5} \times 100\% = 50\%$.

Новое содержание цинка: $C_2 = \frac{20}{5+20} \times 100\% = \frac{20}{25} \times 100\% = 80\%$.

Разница: $C_2 - C_1 = 80\% - 50\% = 30\%$. Решение верное.

Проверка для $x = 20$ кг:

Исходное содержание цинка: $C_1 = \frac{5}{20+5} \times 100\% = \frac{5}{25} \times 100\% = 20\%$.

Новое содержание цинка: $C_2 = \frac{20}{20+20} \times 100\% = \frac{20}{40} \times 100\% = 50\%$.

Разница: $C_2 - C_1 = 50\% - 20\% = 30\%$. Это решение также верное.

Таким образом, задача имеет два правильных ответа.

Ответ: в слитке содержится 5 кг или 20 кг меди.