Номер 178, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 178, страница 58.

Условие.

178. Через первую трубу можно заполнить бассейн на 24 ч быстрее, чем через вторую. Сначала открыли вторую трубу, а через 4 ч — первую. Через 10 ч совместной работы двух труб водой была заполнена $\frac{1}{3}$ бассейна. За сколько часов может заполнить бассейн каждая труба самостоятельно?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Примем весь объем бассейна за 1.

Пусть время, за которое первая труба может заполнить бассейн самостоятельно, равно $x$ часов. Тогда ее производительность (скорость заполнения) составляет $\frac{1}{x}$ бассейна в час.

По условию, первая труба заполняет бассейн на 24 часа быстрее, чем вторая. Следовательно, время, которое требуется второй трубе, равно $x + 24$ часа, а ее производительность — $\frac{1}{x+24}$ бассейна в час. Условие задачи подразумевает, что $x > 0$.

Согласно условию, сначала открыли вторую трубу, и она работала одна в течение 4 часов. За это время она заполнила часть бассейна, равную: $V_2 = 4 \cdot \frac{1}{x+24} = \frac{4}{x+24}$

Затем открыли первую трубу, и обе трубы работали совместно еще 10 часов. За это время они заполнили часть бассейна, равную: $V_{1+2} = 10 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}\right) = \frac{10}{x} + \frac{10}{x+24}$

В результате была заполнена $\frac{1}{3}$ бассейна. Суммируя работу, выполненную на обоих этапах, получаем уравнение: $\frac{4}{x+24} + \frac{10}{x} + \frac{10}{x+24} = \frac{1}{3}$

Упростим левую часть уравнения: $\frac{14}{x+24} + \frac{10}{x} = \frac{1}{3}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+24)$: $\frac{14x + 10(x+24)}{x(x+24)} = \frac{1}{3}$ $\frac{14x + 10x + 240}{x^2 + 24x} = \frac{1}{3}$ $\frac{24x + 240}{x^2 + 24x} = \frac{1}{3}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $1 \cdot (x^2 + 24x) = 3 \cdot (24x + 240)$ $x^2 + 24x = 72x + 720$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 24x - 72x - 720 = 0$ $x^2 - 48x - 720 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-48)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-720) = 2304 + 2880 = 5184$ $\sqrt{D} = \sqrt{5184} = 72$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-48) + 72}{2 \cdot 1} = \frac{48 + 72}{2} = \frac{120}{2} = 60$ $x_2 = \frac{-(-48) - 72}{2 \cdot 1} = \frac{48 - 72}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Так как время ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не является решением задачи. Следовательно, время заполнения бассейна первой трубой составляет 60 часов.

Теперь найдем время для второй трубы: $x + 24 = 60 + 24 = 84$ часа.

Проведем проверку. За $4+10=14$ часов вторая труба заполнит $14 \cdot \frac{1}{84} = \frac{14}{84} = \frac{1}{6}$ бассейна. За 10 часов первая труба заполнит $10 \cdot \frac{1}{60} = \frac{1}{6}$ бассейна. Вместе они заполнят $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ бассейна, что соответствует условию задачи.

Ответ: первая труба может заполнить бассейн за 60 часов, а вторая — за 84 часа.