Номер 3, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 3, страница 59.

Условие.

3. Разложите на множители:

1) $3a - 15b;$

2) $5x - 2xy;$

3) $7mn + 7mk;$

4) $6a^2 - 12ab;$

5) $x^7 - x^3;$

6) $18ab^2 + 9ab;$

7) $22mn^2 + 33m^2n;$

8) $-4a^4 + 20a^{10};$

9) $3x^2 + 15x^4 - 21x^6;$

10) $4a^2b^3 - 12ab^2 + 20a^2b.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $3a - 15b$
Для того чтобы разложить выражение на множители, найдем общий множитель для каждого слагаемого.
Наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 3 и 15 равен 3. Общих переменных у слагаемых нет.
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3a - 15b = 3 \cdot a - 3 \cdot 5b = 3(a - 5b)$
Ответ: $3(a - 5b)$

2) $5x - 2xy$
НОД для коэффициентов 5 и 2 равен 1. Общая переменная у слагаемых — это $x$. Вынесем ее за скобки как общий множитель.
$5x - 2xy = x \cdot 5 - x \cdot 2y = x(5 - 2y)$
Ответ: $x(5 - 2y)$

3) $7mn + 7mk$
Общий числовой коэффициент — 7. Общая переменная — $m$. Следовательно, общий множитель — $7m$.
Вынесем $7m$ за скобки:
$7mn + 7mk = 7m \cdot n + 7m \cdot k = 7m(n + k)$
Ответ: $7m(n + k)$

4) $6a^2 - 12ab$
НОД для коэффициентов 6 и 12 равен 6. Общая переменная — $a$. Выносим переменную в наименьшей степени, то есть $a^1 = a$.
Общий множитель — $6a$.
$6a^2 - 12ab = 6a \cdot a - 6a \cdot 2b = 6a(a - 2b)$
Ответ: $6a(a - 2b)$

5) $x^7 - x^3$
Общий множитель — переменная $x$ в наименьшей из имеющихся степеней, то есть $x^3$.
$x^7 - x^3 = x^3 \cdot x^{7-3} - x^3 \cdot 1 = x^3(x^4 - 1)$
Выражение в скобках $x^4 - 1$ можно разложить дальше как разность квадратов $(x^2)^2 - 1^2$:
$x^3(x^4 - 1) = x^3(x^2 - 1)(x^2 + 1)$
В свою очередь, $x^2 - 1$ также является разностью квадратов:
$x^3(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x^3(x-1)(x+1)(x^2+1)$
Ответ: $x^3(x-1)(x+1)(x^2+1)$

6) $18ab^2 + 9ab$
НОД для коэффициентов 18 и 9 равен 9. Общие переменные — $a$ и $b$. Выносим их в наименьших степенях ($a^1$ и $b^1$).
Общий множитель — $9ab$.
$18ab^2 + 9ab = 9ab \cdot 2b + 9ab \cdot 1 = 9ab(2b + 1)$
Ответ: $9ab(2b + 1)$

7) $22mn^2 + 33m^2n$
НОД для коэффициентов 22 и 33 равен 11. Общие переменные — $m$ и $n$. Выносим их в наименьших степенях ($m^1$ и $n^1$).
Общий множитель — $11mn$.
$22mn^2 + 33m^2n = 11mn \cdot 2n + 11mn \cdot 3m = 11mn(2n + 3m)$
Ответ: $11mn(2n + 3m)$

8) $-4a^4 + 20a^{10}$
НОД для модулей коэффициентов 4 и 20 равен 4. Общая переменная — $a$ в наименьшей степени, то есть $a^4$.
Общий множитель — $4a^4$. Чтобы выражение в скобках начиналось с положительного члена, поменяем слагаемые местами:
$-4a^4 + 20a^{10} = 20a^{10} - 4a^4 = 4a^4 \cdot 5a^6 - 4a^4 \cdot 1 = 4a^4(5a^6 - 1)$
Ответ: $4a^4(5a^6 - 1)$

9) $3x^2 + 15x^4 - 21x^6$
НОД для коэффициентов 3, 15 и 21 равен 3. Общая переменная — $x$ в наименьшей степени, то есть $x^2$.
Общий множитель — $3x^2$.
$3x^2 + 15x^4 - 21x^6 = 3x^2 \cdot 1 + 3x^2 \cdot 5x^2 - 3x^2 \cdot 7x^4 = 3x^2(1 + 5x^2 - 7x^4)$
Ответ: $3x^2(1 + 5x^2 - 7x^4)$

10) $4a^2b^3 - 12ab^2 + 20a^2b$
НОД для коэффициентов 4, 12 и 20 равен 4. Общие переменные — $a$ и $b$. Выносим их в наименьших степенях ($a^1$ и $b^1$).
Общий множитель — $4ab$.
$4a^2b^3 - 12ab^2 + 20a^2b = 4ab \cdot ab^2 - 4ab \cdot 3b + 4ab \cdot 5a = 4ab(ab^2 - 3b + 5a)$
Ответ: $4ab(ab^2 - 3b + 5a)$