Номер 8, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Разложите на множители:

1) $3a^3 - 27a;$

2) $3x^4 - 3x^2y^2;$

3) $4m^2n^4 - 64m^2p^4;$

4) $2x^2 + 24xy + 72y^2;$

5) $-75b^6 + 30b^4 - 3b^2;$

6) $2x^6 - 16y^9;$

7) $x + 4y + x^2 - 16y^2;$

8) $x^2y^5 - y^5 - x^2y^3 + y^3.$

1) Для разложения на множители выражения $3a^3 - 27a$ первым шагом вынесем общий множитель $3a$ за скобки. Получаем: $3a(a^2 - 9)$. Выражение в скобках, $a^2 - 9$, является разностью квадратов, так как $a^2$ — это квадрат переменной $a$, а $9$ — это квадрат числа $3$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В нашем случае $x=a$ и $y=3$, следовательно $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$. Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид: $3a(a - 3)(a + 3)$.

Ответ: $3a(a - 3)(a + 3)$

2) В выражении $3x^4 - 3x^2y^2$ вынесем общий множитель $3x^2$ за скобки. Получаем: $3x^2(x^2 - y^2)$. Выражение в скобках, $x^2 - y^2$, является разностью квадратов. Применяя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, мы можем разложить его как $(x - y)(x + y)$.

Ответ: $3x^2(x - y)(x + y)$

3) Для выражения $4m^2n^4 - 64m^2p^4$ вынесем общий множитель $4m^2$ за скобки: $4m^2(n^4 - 16p^4)$. Выражение в скобках $n^4 - 16p^4$ является разностью квадратов, поскольку $n^4 = (n^2)^2$ и $16p^4 = (4p^2)^2$. Применяем формулу: $(n^2 - 4p^2)(n^2 + 4p^2)$. Множитель $n^2 - 4p^2$ также является разностью квадратов: $n^2 - (2p)^2$, что раскладывается как $(n - 2p)(n + 2p)$. Множитель $n^2 + 4p^2$ является суммой квадратов и далее не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $4m^2(n - 2p)(n + 2p)(n^2 + 4p^2)$

4) В выражении $2x^2 + 24xy + 72y^2$ вынесем общий множитель $2$ за скобки: $2(x^2 + 12xy + 36y^2)$. Выражение в скобках $x^2 + 12xy + 36y^2$ является полным квадратом суммы, который соответствует формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=6y$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 6y = 12xy$. Это совпадает со средним членом в нашем выражении, поэтому $x^2 + 12xy + 36y^2 = (x + 6y)^2$.

Ответ: $2(x + 6y)^2$

5) В выражении $-75b^6 + 30b^4 - 3b^2$ вынесем общий множитель $-3b^2$ за скобки, чтобы получить положительный старший коэффициент в скобках: $-3b^2(25b^4 - 10b^2 + 1)$. Выражение в скобках $25b^4 - 10b^2 + 1$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Здесь $a=5b^2$ и $b=1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 5b^2 \cdot 1 = 10b^2$. Таким образом, $25b^4 - 10b^2 + 1 = (5b^2 - 1)^2$.

Ответ: $-3b^2(5b^2 - 1)^2$

6) В выражении $2x^6 - 16y^9$ вынесем общий множитель $2$ за скобки: $2(x^6 - 8y^9)$. Выражение в скобках является разностью кубов, так как $x^6 = (x^2)^3$ и $8y^9 = (2y^3)^3$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x^2$ и $b = 2y^3$. Получаем: $2(x^2 - 2y^3)((x^2)^2 + x^2 \cdot 2y^3 + (2y^3)^2) = 2(x^2 - 2y^3)(x^4 + 2x^2y^3 + 4y^6)$.

Ответ: $2(x^2 - 2y^3)(x^4 + 2x^2y^3 + 4y^6)$

7) Для разложения выражения $x + 4y + x^2 - 16y^2$ используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые: $(x + 4y) + (x^2 - 16y^2)$. Вторая группа $x^2 - 16y^2$ является разностью квадратов: $x^2 - (4y)^2 = (x - 4y)(x + 4y)$. Подставим это обратно в выражение: $(x + 4y) + (x - 4y)(x + 4y)$. Теперь мы видим общий множитель $(x + 4y)$, который можно вынести за скобки: $(x + 4y)(1 + (x - 4y))$. Упростим выражение во второй скобке: $(x + 4y)(1 + x - 4y)$.

Ответ: $(x + 4y)(x - 4y + 1)$

8) В выражении $x^2y^5 - y^5 - x^2y^3 + y^3$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых: $(x^2y^5 - y^5) - (x^2y^3 - y^3)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $y^5(x^2 - 1) - y^3(x^2 - 1)$. Теперь $(x^2 - 1)$ является общим множителем, вынесем его: $(x^2 - 1)(y^5 - y^3)$. Оба множителя можно разложить дальше. $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ (разность квадратов). В $y^5 - y^3$ вынесем $y^3$: $y^3(y^2 - 1)$. Множитель $y^2 - 1$ также является разностью квадратов: $(y-1)(y+1)$. Собираем все вместе.

Ответ: $y^3(x - 1)(x + 1)(y - 1)(y + 1)$