Номер 2, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 2, страница 59.

Условие.

2. Упростите выражение:

1) $(x + 3)(x - 7) - 4x(5 - 2x);$

2) $(y + 2)(y - 6) + (y + 3)(y - 4);$

3) $(a - 3)(3a + 1) - (2a + 3)(4a - 1);$

4) $(x + 4)^2 - (x - 2)(x + 2);$

5) $(8a - 3b)(8a + 3b) - (6a - 5b)^2;$

6) $(m - 3)(m + 4) - (m + 2)^2 + (4 - m)(m + 4).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(x + 3)(x - 7) - 4x(5 - 2x)$

Для упрощения данного выражения сначала раскроем скобки. Перемножим два многочлена $(x + 3)$ и $(x - 7)$, а также умножим одночлен $-4x$ на многочлен $(5 - 2x)$.

$(x + 3)(x - 7) = x \cdot x + x \cdot (-7) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-7) = x^2 - 7x + 3x - 21 = x^2 - 4x - 21$

$-4x(5 - 2x) = -4x \cdot 5 - 4x \cdot (-2x) = -20x + 8x^2$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 4x - 21) + (-20x + 8x^2) = x^2 - 4x - 21 - 20x + 8x^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 8x^2) + (-4x - 20x) - 21 = 9x^2 - 24x - 21$

Ответ: $9x^2 - 24x - 21$

2) $(y + 2)(y - 6) + (y + 3)(y - 4)$

Раскроем скобки в каждом произведении многочленов.

$(y + 2)(y - 6) = y^2 - 6y + 2y - 12 = y^2 - 4y - 12$

$(y + 3)(y - 4) = y^2 - 4y + 3y - 12 = y^2 - y - 12$

Теперь сложим полученные многочлены:

$(y^2 - 4y - 12) + (y^2 - y - 12) = y^2 - 4y - 12 + y^2 - y - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 + y^2) + (-4y - y) + (-12 - 12) = 2y^2 - 5y - 24$

Ответ: $2y^2 - 5y - 24$

3) $(a - 3)(3a + 1) - (2a + 3)(4a - 1)$

Раскроем скобки в каждом произведении.

$(a - 3)(3a + 1) = a \cdot 3a + a \cdot 1 - 3 \cdot 3a - 3 \cdot 1 = 3a^2 + a - 9a - 3 = 3a^2 - 8a - 3$

$(2a + 3)(4a - 1) = 2a \cdot 4a + 2a \cdot (-1) + 3 \cdot 4a + 3 \cdot (-1) = 8a^2 - 2a + 12a - 3 = 8a^2 + 10a - 3$

Теперь вычтем второе выражение из первого. Важно помнить, что при вычитании многочлена знаки всех его членов меняются на противоположные.

$(3a^2 - 8a - 3) - (8a^2 + 10a - 3) = 3a^2 - 8a - 3 - 8a^2 - 10a + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$(3a^2 - 8a^2) + (-8a - 10a) + (-3 + 3) = -5a^2 - 18a$

Ответ: $-5a^2 - 18a$

4) $(x + 4)^2 - (x - 2)(x + 2)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$

$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 4) = x^2 + 8x + 16 - x^2 + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + 8x + (16 + 4) = 8x + 20$

Ответ: $8x + 20$

5) $(8a - 3b)(8a + 3b) - (6a - 5b)^2$

Здесь также применяем формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(8a - 3b)(8a + 3b) = (8a)^2 - (3b)^2 = 64a^2 - 9b^2$

$(6a - 5b)^2 = (6a)^2 - 2 \cdot 6a \cdot 5b + (5b)^2 = 36a^2 - 60ab + 25b^2$

Подставим в исходное выражение:

$(64a^2 - 9b^2) - (36a^2 - 60ab + 25b^2) = 64a^2 - 9b^2 - 36a^2 + 60ab - 25b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(64a^2 - 36a^2) + 60ab + (-9b^2 - 25b^2) = 28a^2 + 60ab - 34b^2$

Ответ: $28a^2 + 60ab - 34b^2$

6) $(m - 3)(m + 4) - (m + 2)^2 + (4 - m)(m + 4)$

Сгруппируем первое и третье слагаемые, так как они имеют общий множитель $(m+4)$.

$(m - 3)(m + 4) + (4 - m)(m + 4) = (m + 4) \cdot ((m - 3) + (4 - m))$

Упростим выражение во вторых скобках:

$m - 3 + 4 - m = 1$

Таким образом, сумма первого и третьего слагаемых равна $(m + 4) \cdot 1 = m + 4$.

Исходное выражение принимает вид:

$(m + 4) - (m + 2)^2$

Теперь раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(m + 4) - (m^2 + 4m + 4) = m + 4 - m^2 - 4m - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$-m^2 + (m - 4m) + (4 - 4) = -m^2 - 3m$

Ответ: $-m^2 - 3m$