Номер 176, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Знаменатель обыкновенной дроби на 11 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 1, а знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на $1/9$ больше исходной. Найдите исходную дробь.

Пусть числитель исходной дроби равен $x$.

Согласно условию, знаменатель этой дроби на 11 больше числителя, следовательно, знаменатель равен $x + 11$.

Таким образом, исходная дробь имеет вид: $\frac{x}{x+11}$.

Если числитель этой дроби увеличить на 1, он станет равен $x + 1$. Если знаменатель уменьшить на 2, он станет равен $(x + 11) - 2 = x + 9$.

Новая полученная дробь будет равна $\frac{x+1}{x+9}$.

По условию, полученная дробь на $\frac{1}{9}$ больше исходной. Составим уравнение на основе этого условия:

$\frac{x+1}{x+9} = \frac{x}{x+11} + \frac{1}{9}$

Для решения уравнения перенесём дробь с переменной в левую часть:

$\frac{x+1}{x+9} - \frac{x}{x+11} = \frac{1}{9}$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(x+9)(x+11)$:

$\frac{(x+1)(x+11) - x(x+9)}{(x+9)(x+11)} = \frac{1}{9}$

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:

$(x+1)(x+11) - x(x+9) = (x^2 + 12x + 11) - (x^2 + 9x) = 3x + 11$

Раскроем скобки в знаменателе:

$(x+9)(x+11) = x^2 + 20x + 99$

Подставим упрощённые выражения обратно в уравнение:

$\frac{3x + 11}{x^2 + 20x + 99} = \frac{1}{9}$

Используя свойство пропорции (перекрёстное умножение), получаем:

$9(3x + 11) = 1(x^2 + 20x + 99)$

$27x + 99 = x^2 + 20x + 99$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 20x - 27x + 99 - 99 = 0$

$x^2 - 7x = 0$

Решим это неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:

$x(x - 7) = 0$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 7$

Найдём дроби, соответствующие каждому корню, и выполним проверку.

1. Если $x = 0$, то исходная дробь равна $\frac{0}{0+11} = \frac{0}{11}$. Новая дробь: $\frac{0+1}{(0+11)-2} = \frac{1}{9}$. Проверяем разницу: $\frac{1}{9} - \frac{0}{11} = \frac{1}{9}$. Это решение удовлетворяет условию.

2. Если $x = 7$, то исходная дробь равна $\frac{7}{7+11} = \frac{7}{18}$. Новая дробь: $\frac{7+1}{(7+11)-2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. Проверяем разницу: $\frac{1}{2} - \frac{7}{18} = \frac{9}{18} - \frac{7}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$. Это решение также удовлетворяет условию.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $\frac{0}{11}$ и $\frac{7}{18}$.