Номер 172, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2 - номер 172, страница 57.

Условие.

172. Автомобиль должен был проехать 225 км. Проехав $\frac{8}{15}$ этого расстояния, автомобиль уменьшил свою скорость на 10 км/ч. Найдите скорость автомобиля на каждом участке движения, если на весь путь было затрачено 3 ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это скорость автомобиля на первом участке пути. Тогда на втором участке скорость автомобиля стала $(x - 10)$ км/ч. Согласно условию, скорость на втором участке должна быть положительной, поэтому $x - 10 > 0$, что означает $x > 10$.

Весь путь автомобиля составляет 225 км. Разделим его на два участка.

1. Первый участок пути.

Длина первого участка составляет $\frac{8}{15}$ от общего расстояния. Вычислим ее:

$S_1 = 225 \cdot \frac{8}{15} = 15 \cdot 8 = 120$ км.

Время, которое автомобиль затратил на прохождение первого участка со скоростью $x$ км/ч, равно:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{120}{x}$ ч.

2. Второй участок пути.

Длина второго участка — это оставшаяся часть пути:

$S_2 = 225 - 120 = 105$ км.

Скорость на этом участке была $(x - 10)$ км/ч. Время, затраченное на прохождение второго участка, равно:

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{105}{x - 10}$ ч.

3. Составление и решение уравнения.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 3 часа. Это сумма времени, затраченного на каждый из участков:

$t_1 + t_2 = 3$

$\frac{120}{x} + \frac{105}{x - 10} = 3$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 3:

$\frac{40}{x} + \frac{35}{x - 10} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x - 10)$:

$\frac{40(x - 10) + 35x}{x(x - 10)} = 1$

Так как мы установили, что $x > 10$, знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому мы можем умножить обе части уравнения на $x(x - 10)$:

$40(x - 10) + 35x = x(x - 10)$

Раскроем скобки:

$40x - 400 + 35x = x^2 - 10x$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 85x + 400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-85)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 7225 - 1600 = 5625$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{85 + \sqrt{5625}}{2} = \frac{85 + 75}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{85 - \sqrt{5625}}{2} = \frac{85 - 75}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Корень $x_2 = 5$ не удовлетворяет нашему условию $x > 10$, поэтому он является посторонним. Единственное верное решение — $x = 80$.

Таким образом, скорость автомобиля на первом участке составляла 80 км/ч.

Скорость на втором участке была на 10 км/ч меньше:

$80 - 10 = 70$ км/ч.

Ответ: скорость автомобиля на первом участке — 80 км/ч, на втором участке — 70 км/ч.