Номер 166, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2 - номер 166, страница 56.

Условие.

$x^3 - 3x^2 + 3x + 9x - 27$

166. Решите уравнение методом замены переменной:

1) $(x^2 - 7)^2 - 6(x^2 - 7) - 16 = 0;$

2) $(x - 3)^4 - 5(x - 3)^2 + 4 = 0;$

3) $(x^2 + 2x)^2 - 27(x^2 + 2x) + 72 = 0;$

4) $(x^2 - 5x - 2)^2 + 4x^2 - 20x - 40 = 0;$

5) $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 3) = -1;$

6) $(x^4 - 5x^2)^2 - 2(x^4 - 5x^2) = 24.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(x^2 - 7)^2 - 6(x^2 - 7) - 16 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 7$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 6t - 16 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а произведение равно -16. Корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = 8$, то $x^2 - 7 = 8$.

$x^2 = 15$

$x_1 = \sqrt{15}$, $x_2 = -\sqrt{15}$.

2. Если $t_2 = -2$, то $x^2 - 7 = -2$.

$x^2 = 5$

$x_3 = \sqrt{5}$, $x_4 = -\sqrt{5}$.

Ответ: $-\sqrt{15}; -\sqrt{5}; \sqrt{5}; \sqrt{15}$.

2) $(x - 3)^4 - 5(x - 3)^2 + 4 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = (x - 3)^2$. Так как квадрат числа не может быть отрицательным, $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = 1$, то $(x - 3)^2 = 1$.

$x - 3 = 1$ или $x - 3 = -1$.

$x_1 = 4$, $x_2 = 2$.

2. Если $t_2 = 4$, то $(x - 3)^2 = 4$.

$x - 3 = 2$ или $x - 3 = -2$.

$x_3 = 5$, $x_4 = 1$.

Ответ: 1; 2; 4; 5.

3) $(x^2 + 2x)^2 - 27(x^2 + 2x) + 72 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 2x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 27t + 72 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 729 - 288 = 441 = 21^2$.

$t_1 = \frac{27 - 21}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$t_2 = \frac{27 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = 3$, то $x^2 + 2x = 3$.

$x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

2. Если $t_2 = 24$, то $x^2 + 2x = 24$.

$x^2 + 2x - 24 = 0$. По теореме Виета, $x_3 = 4$, $x_4 = -6$.

Ответ: -6; -3; 1; 4.

4) $(x^2 - 5x - 2)^2 + 4x^2 - 20x - 40 = 0$

Преобразуем уравнение, чтобы выделить повторяющееся выражение. Вынесем 4 за скобки в слагаемых $4x^2 - 20x - 40$:

$(x^2 - 5x - 2)^2 + 4(x^2 - 5x - 10) = 0$

Выражение в скобках немного отличается. Представим $x^2 - 5x - 10$ как $(x^2 - 5x - 2) - 8$:

$(x^2 - 5x - 2)^2 + 4((x^2 - 5x - 2) - 8) = 0$

$(x^2 - 5x - 2)^2 + 4(x^2 - 5x - 2) - 32 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 5x - 2$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 4t - 32 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 4$, $t_2 = -8$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = 4$, то $x^2 - 5x - 2 = 4$.

$x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 6$, $x_2 = -1$.

2. Если $t_2 = -8$, то $x^2 - 5x - 2 = -8$.

$x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, $x_3 = 2$, $x_4 = 3$.

Ответ: -1; 2; 3; 6.

5) $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 3) = -1$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 3x + 2$. Это выражение является средним арифметическим выражений в скобках. Тогда $x^2 + 3x + 1 = t - 1$ и $x^2 + 3x + 3 = t + 1$. Уравнение примет вид:

$(t - 1)(t + 1) = -1$

$t^2 - 1 = -1$

$t^2 = 0$

$t = 0$

Выполним обратную замену:

$x^2 + 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = -2$.

Ответ: -2; -1.

6) $(x^4 - 5x^2)^2 - 2(x^4 - 5x^2) = 24$

Перенесем 24 в левую часть:

$(x^4 - 5x^2)^2 - 2(x^4 - 5x^2) - 24 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^4 - 5x^2$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 2t - 24 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 6$, $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену. Получим два биквадратных уравнения:

1. Если $t_1 = 6$, то $x^4 - 5x^2 = 6$.

$x^4 - 5x^2 - 6 = 0$. Сделаем еще одну замену $y = x^2$ ($y \ge 0$).

$y^2 - 5y - 6 = 0$. По теореме Виета, $y_1 = 6$, $y_2 = -1$. Корень $y_2 = -1$ не подходит, так как $y \ge 0$.

Тогда $x^2 = 6$, откуда $x_{1,2} = \pm\sqrt{6}$.

2. Если $t_2 = -4$, то $x^4 - 5x^2 = -4$.

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. Снова сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$).

$y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, $y_3 = 4$, $y_4 = 1$. Оба корня подходят.

Если $y=4$, то $x^2 = 4$, откуда $x_{3,4} = \pm 2$.

Если $y=1$, то $x^2 = 1$, откуда $x_{5,6} = \pm 1$.

Ответ: $\pm 1; \pm 2; \pm\sqrt{6}$.