Номер 170, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 170, страница 57.

Условие.

170. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч меньше скорости второго, поэтому 420 км он проезжает на 1 ч дольше второго автомобиля. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение.
Пусть $x$ км/ч — скорость второго автомобиля.
Тогда, согласно условию, скорость первого автомобиля составляет $(x - 10)$ км/ч.

Время, за которое первый автомобиль проезжает 420 км, вычисляется по формуле $t = S/v$, и оно равно $t_1 = \frac{420}{x-10}$ ч.
Время, за которое второй автомобиль проезжает 420 км, равно $t_2 = \frac{420}{x}$ ч.

Известно, что первый автомобиль находится в пути на 1 час дольше, чем второй. Составим уравнение на основе этой разницы во времени:
$t_1 - t_2 = 1$
$\frac{420}{x-10} - \frac{420}{x} = 1$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-10)$:
$\frac{420x - 420(x-10)}{x(x-10)} = 1$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{420x - 420x + 4200}{x^2 - 10x} = 1$
$\frac{4200}{x^2 - 10x} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 - 10x$, при условии, что он не равен нулю ($x \neq 0$ и $x \neq 10$, что выполняется, так как скорость не может быть нулевой или 10 км/ч, иначе скорость первого была бы 0):
$x^2 - 10x = 4200$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 10x - 4200 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4200) = 100 + 16800 = 16900$
Найдем корень из дискриминанта:
$\sqrt{D} = \sqrt{16900} = 130$

Теперь найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{-(-10) + 130}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 130}{2} = \frac{140}{2} = 70$
$x_2 = \frac{-(-10) - 130}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 130}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной, корень $x_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, скорость второго автомобиля равна $x = 70$ км/ч.

Найдем скорость первого автомобиля:
$x - 10 = 70 - 10 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 60 км/ч, скорость второго автомобиля — 70 км/ч.