Номер 173, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 173, страница 57.

Условие.

173. Катер прошёл 20 км по озеру, а затем 44 км по реке, вытекающей из этого озера, за 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем переменную. Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч.

По озеру, где течение отсутствует, катер движется со своей собственной скоростью. Время, которое катер затратил на путь в 20 км по озеру, можно выразить формулой: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{20}{x}$ ч.

Река вытекает из озера, следовательно, катер двигался по течению реки. Его скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения реки: $v_2 = v_{собственная} + v_{течения} = x + 2$ км/ч.

Время, которое катер затратил на путь в 44 км по реке, составляет: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{44}{x + 2}$ ч.

Общее время в пути, согласно условию, равно 3 часам. Мы можем составить уравнение, сложив время движения по озеру и по реке: $t_1 + t_2 = 3$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$: $\frac{20}{x} + \frac{44}{x + 2} = 3$

Для решения этого уравнения, приведем дроби к общему знаменателю $x(x + 2)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, учитывая, что скорость $x$ должна быть больше нуля ($x > 0$): $20(x + 2) + 44x = 3x(x + 2)$

Раскроем скобки и упростим выражение: $20x + 40 + 44x = 3x^2 + 6x$ $64x + 40 = 3x^2 + 6x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $3x^2 + 6x - 64x - 40 = 0$ $3x^2 - 58x - 40 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-58)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 3364 + 480 = 3844$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $\sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62$ $x_1 = \frac{58 + 62}{2 \cdot 3} = \frac{120}{6} = 20$ $x_2 = \frac{58 - 62}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -2/3$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, единственное подходящее решение — $x = 20$.

Таким образом, собственная скорость катера составляет 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч.