Номер 171, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 171, страница 57.

Условие.

171. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 15 км, турист шёл со скоростью на 2 км/ч меньшей, чем из пункта В в пункт С, расстояние между которыми 16 км. С какой скоростью шёл турист из пункта А в пункт В, если из пункта В в пункт С он шёл на 30 мин меньше, чем из пункта А в пункт В?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение:

Обозначим искомую скорость туриста на пути из пункта А в пункт B как $x$ км/ч.

Согласно условию, скорость туриста на пути из пункта B в пункт C была на 2 км/ч больше, то есть она составляла $(x + 2)$ км/ч.

Время, которое турист затратил на путь из A в B, можно выразить формулой $t_{AB} = \frac{S_{AB}}{v_{AB}}$. Подставив известные значения, получим $t_{AB} = \frac{15}{x}$ часов.

Время, которое турист затратил на путь из B в C, составляет $t_{BC} = \frac{S_{BC}}{v_{BC}} = \frac{16}{x+2}$ часов.

В задаче сказано, что на путь из B в C он потратил на 30 минут меньше, чем на путь из A в B. Переведем разницу во времени в часы: 30 мин = 0,5 ч.

Теперь мы можем составить уравнение, отражающее эту разницу во времени:

$$ t_{AB} - t_{BC} = 0.5 $$ $$ \frac{15}{x} - \frac{16}{x+2} = 0.5 $$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$:

$$ \frac{15(x+2) - 16x}{x(x+2)} = 0.5 $$ $$ \frac{15x + 30 - 16x}{x^2 + 2x} = 0.5 $$ $$ \frac{30 - x}{x^2 + 2x} = 0.5 $$

Теперь умножим обе части на знаменатель $x^2 + 2x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$):

$$ 30 - x = 0.5(x^2 + 2x) $$ $$ 30 - x = 0.5x^2 + x $$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$$ 60 - 2x = x^2 + 2x $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ x^2 + 2x + 2x - 60 = 0 $$ $$ x^2 + 4x - 60 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256 $$

Найдем корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 16}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$ $$ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 16}{2} = \frac{-20}{2} = -10 $$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -10$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость туриста на пути из A в B равна 6 км/ч.

Проверка:

Скорость из А в B: $v_{AB} = 6$ км/ч. Время: $t_{AB} = 15/6 = 2.5$ часа.

Скорость из B в C: $v_{BC} = 6 + 2 = 8$ км/ч. Время: $t_{BC} = 16/8 = 2$ часа.

Разница во времени: $t_{AB} - t_{BC} = 2.5 - 2 = 0.5$ часа, что равно 30 минутам. Решение верное.

Ответ: 6 км/ч.