Номер 159, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 + 3x - 4}{x + 4}$;

2) $\frac{3x - 9}{x^2 + 4x - 21}$;

3) $\frac{3x^2 - x - 2}{9x^2 - 4}$;

4) $\frac{4a^2 + 12a + 9}{2a^2 + a - 3}$;

5) $\frac{a^2 + 5a - 14}{a^2 + 8a + 7}$;

6) $\frac{x^3 + 8}{4x^2 + 7x - 2}$;

7) $\frac{x^2 - 4}{5x - x^2 - 6}$;

8) $\frac{x^2 + 5x - 24}{4x - x^2 - 3}$;

9) $\frac{4x^2 - 7x - 2}{11x - 4x^2 + 3}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 3x - 4}{x + 4}$, разложим числитель на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 4$, решив уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -4$. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Следовательно, $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x - (-4)) = (x - 1)(x + 4)$.
Подставим разложение в исходную дробь:
$\frac{(x - 1)(x + 4)}{x + 4}$
Сократим общий множитель $(x + 4)$ в числителе и знаменателе.
Ответ: $x - 1$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{3x - 9}{x^2 + 4x - 21}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $3x - 9 = 3(x - 3)$.
В знаменателе найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 21$, решив уравнение $x^2 + 4x - 21 = 0$.
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -4$ и $x_1 \cdot x_2 = -21$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$.
Следовательно, $x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x - (-7)) = (x - 3)(x + 7)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{3(x - 3)}{(x - 3)(x + 7)}$
Сократим общий множитель $(x - 3)$.
Ответ: $\frac{3}{x + 7}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{3x^2 - x - 2}{9x^2 - 4}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя $3x^2 - x - 2$ найдем корни уравнения $3x^2 - x - 2 = 0$ через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{6} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Тогда $3x^2 - x - 2 = 3(x - 1)(x + \frac{2}{3}) = (x - 1)(3x + 2)$.
Знаменатель $9x^2 - 4$ является разностью квадратов $(3x)^2 - 2^2$, которая раскладывается как $(3x - 2)(3x + 2)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x - 1)(3x + 2)}{(3x - 2)(3x + 2)}$
Сократим общий множитель $(3x + 2)$.
Ответ: $\frac{x - 1}{3x - 2}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{4a^2 + 12a + 9}{2a^2 + a - 3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $4a^2 + 12a + 9$ является полным квадратом суммы: $(2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot 3 + 3^2 = (2a + 3)^2$.
Для знаменателя $2a^2 + a - 3$ найдем корни уравнения $2a^2 + a - 3 = 0$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$a_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$.
$a_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Тогда $2a^2 + a - 3 = 2(a - 1)(a + \frac{3}{2}) = (a - 1)(2a + 3)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(2a + 3)^2}{(a - 1)(2a + 3)}$
Сократим общий множитель $(2a + 3)$.
Ответ: $\frac{2a + 3}{a - 1}$.

5) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + 5a - 14}{a^2 + 8a + 7}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя $a^2 + 5a - 14 = 0$ по теореме Виета: $a_1 + a_2 = -5$, $a_1 \cdot a_2 = -14$. Корни: $a_1 = 2, a_2 = -7$. Значит, $a^2 + 5a - 14 = (a - 2)(a + 7)$.
Для знаменателя $a^2 + 8a + 7 = 0$ по теореме Виета: $a_1 + a_2 = -8$, $a_1 \cdot a_2 = 7$. Корни: $a_1 = -1, a_2 = -7$. Значит, $a^2 + 8a + 7 = (a + 1)(a + 7)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(a - 2)(a + 7)}{(a + 1)(a + 7)}$
Сократим общий множитель $(a + 7)$.
Ответ: $\frac{a - 2}{a + 1}$.

6) Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 + 8}{4x^2 + 7x - 2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^3 + 8$ является суммой кубов $x^3 + 2^3$, которая раскладывается как $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.
Для знаменателя $4x^2 + 7x - 2$ найдем корни уравнения $4x^2 + 7x - 2 = 0$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-7 + 9}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$x_2 = \frac{-7 - 9}{8} = -\frac{16}{8} = -2$.
Тогда $4x^2 + 7x - 2 = 4(x - \frac{1}{4})(x + 2) = (4x - 1)(x + 2)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(4x - 1)(x + 2)}$
Сократим общий множитель $(x + 2)$.
Ответ: $\frac{x^2 - 2x + 4}{4x - 1}$.

7) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 4}{5x - x^2 - 6}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2 - 4$ — это разность квадратов: $(x - 2)(x + 2)$.
Знаменатель $5x - x^2 - 6 = -(x^2 - 5x + 6)$. Найдем корни трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни: $x_1 = 2, x_2 = 3$.
Значит, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, а знаменатель равен $-(x - 2)(x - 3)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x - 2)(x + 2)}{-(x - 2)(x - 3)}$
Сократим общий множитель $(x - 2)$ и внесем минус в знаменатель:
$\frac{x + 2}{-(x - 3)} = \frac{x + 2}{3 - x}$.
Ответ: $\frac{x + 2}{3 - x}$.

8) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 5x - 24}{4x - x^2 - 3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя $x^2 + 5x - 24 = 0$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -5$, $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = -8$. Значит, $x^2 + 5x - 24 = (x - 3)(x + 8)$.
Знаменатель $4x - x^2 - 3 = -(x^2 - 4x + 3)$. Найдем корни трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = 3$. Корни: $x_1 = 1, x_2 = 3$.
Значит, $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$, а знаменатель равен $-(x - 1)(x - 3)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x - 3)(x + 8)}{-(x - 1)(x - 3)}$
Сократим общий множитель $(x - 3)$ и внесем минус в знаменатель:
$\frac{x + 8}{-(x - 1)} = \frac{x + 8}{1 - x}$.
Ответ: $\frac{x + 8}{1 - x}$.

9) Чтобы сократить дробь $\frac{4x^2 - 7x - 2}{11x - 4x^2 + 3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя $4x^2 - 7x - 2$ найдем корни уравнения $4x^2 - 7x - 2 = 0$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{7 + 9}{8} = 2$.
$x_2 = \frac{7 - 9}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Тогда $4x^2 - 7x - 2 = 4(x - 2)(x + \frac{1}{4}) = (x - 2)(4x + 1)$.
Знаменатель $11x - 4x^2 + 3 = -(4x^2 - 11x - 3)$. Найдем корни трехчлена $4x^2 - 11x - 3 = 0$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
$x_2 = \frac{11 - 13}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Тогда $4x^2 - 11x - 3 = 4(x - 3)(x + \frac{1}{4}) = (x - 3)(4x + 1)$.
Знаменатель равен $-(x - 3)(4x + 1)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x - 2)(4x + 1)}{-(x - 3)(4x + 1)}$
Сократим общий множитель $(4x + 1)$ и внесем минус в знаменатель:
$\frac{x - 2}{-(x - 3)} = \frac{x - 2}{3 - x}$.
Ответ: $\frac{x - 2}{3 - x}$.