Номер 158, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

158. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $a^2 - 18a + 17$;

2) $-x^2 - 4x + 21$;

3) $60y^2 - 20y - 5$;

4) $-\frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{4}x + 5$;

5) $\frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{4}y - \frac{1}{4}$;

6) $45x^2 - 150x + 125$.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2+bx+c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D=b^2-4ac$ — дискриминант.

1) $a^2-18a+17$

Приравняем трёхчлен к нулю, чтобы найти его корни: $a^2-18a+17=0$.
Это приведённое квадратное уравнение ($k=1$), поэтому можно воспользоваться теоремой Виета:
$a_1+a_2 = -(-18) = 18$
$a_1 \cdot a_2 = 17$
Подбором находим корни: $a_1=1$ и $a_2=17$.
Теперь подставляем корни в формулу разложения $k(a-a_1)(a-a_2)$, где $k=1$:
$a^2-18a+17 = 1 \cdot (a-1)(a-17) = (a-1)(a-17)$.

Ответ: $(a-1)(a-17)$

2) $-x^2-4x+21$

Найдём корни уравнения $-x^2-4x+21=0$. Для удобства умножим обе части на -1: $x^2+4x-21=0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.
Найдём корни:
$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4+10}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4-10}{2} = -7$
Подставляем корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $a=-1$:
$-x^2-4x+21 = -1 \cdot (x-3)(x-(-7)) = -(x-3)(x+7)$.

Ответ: $-(x-3)(x+7)$

3) $60y^2-20y-5$

Сначала вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(12y^2-4y-1)$.
Теперь разложим на множители трёхчлен $12y^2-4y-1$. Найдём корни уравнения $12y^2-4y-1=0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2-4ac = (-4)^2-4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16+48=64$.
Найдём корни:
$y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4+8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4-8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$
Подставляем корни в формулу разложения $a(y-y_1)(y-y_2)$, где $a=12$:
$12(y-\frac{1}{2})(y-(-\frac{1}{6})) = 12(y-\frac{1}{2})(y+\frac{1}{6})$.
Чтобы избавиться от дробей в скобках, представим $12$ как $2 \cdot 6$ и внесём множители в скобки:
$2 \cdot (y-\frac{1}{2}) \cdot 6 \cdot (y+\frac{1}{6}) = (2y-1)(6y+1)$.
Возвращаемся к исходному выражению с учётом вынесенного множителя 5:
$5(2y-1)(6y+1)$.

Ответ: $5(2y-1)(6y+1)$

4) $-\frac{1}{8}x^2-\frac{3}{4}x+5$

Вынесем за скобки коэффициент при старшем члене, т.е. $-\frac{1}{8}$:
$-\frac{1}{8}(x^2 + (\frac{3}{4}:\frac{1}{8})x - (5:\frac{1}{8})) = -\frac{1}{8}(x^2 + \frac{3}{4} \cdot 8x - 5 \cdot 8) = -\frac{1}{8}(x^2+6x-40)$.
Теперь разложим на множители $x^2+6x-40$. Найдём корни уравнения $x^2+6x-40=0$.
По теореме Виета:
$x_1+x_2 = -6$
$x_1 \cdot x_2 = -40$
Подбором находим корни: $x_1=-10$ и $x_2=4$.
Разложение трёхчлена в скобках: $(x-(-10))(x-4) = (x+10)(x-4)$.
Подставляем обратно, учитывая вынесенный множитель:
$-\frac{1}{8}(x+10)(x-4)$.

Ответ: $-\frac{1}{8}(x-4)(x+10)$

5) $\frac{1}{2}y^2-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$

Вынесем за скобки коэффициент $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}(y^2 - (\frac{1}{4}:\frac{1}{2})y - (\frac{1}{4}:\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}(y^2-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2})$.
Найдём корни уравнения $y^2-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}=0$. Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: $2y^2-y-1=0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2-4ac = (-1)^2-4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1+8=9$.
Найдём корни:
$y_1 = \frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = 1$
$y_2 = \frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$
Разложение для $y^2-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$ (коэффициент при $y^2$ равен 1): $(y-1)(y-(-\frac{1}{2})) = (y-1)(y+\frac{1}{2})$.
Подставляем обратно, учитывая множитель $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}(y-1)(y+\frac{1}{2})$.

Ответ: $\frac{1}{2}(y-1)(y+\frac{1}{2})$

6) $45x^2-150x+125$

Вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(9x^2-30x+25)$.
Трёхчлен в скобках $9x^2-30x+25$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$.
Здесь $A^2 = 9x^2 \Rightarrow A=3x$, $B^2 = 25 \Rightarrow B=5$, и удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x$.
Таким образом, $9x^2-30x+25=(3x-5)^2$.
Итоговое разложение: $5(3x-5)^2$.
Альтернативный способ: найти корни $9x^2-30x+25=0$. Дискриминант $D=(-30)^2-4 \cdot 9 \cdot 25 = 900-900=0$. Уравнение имеет один корень $x=\frac{-(-30)}{2 \cdot 9} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$. Тогда разложение $9(x-\frac{5}{3})^2 = (3(x-\frac{5}{3}))^2 = (3x-5)^2$.

Ответ: $5(3x-5)^2$