Номер 160, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 - 3x - 10}{x + 2};$

2) $y = \frac{5x^2 + 4x - 1}{x + 1} - \frac{x^2 - 4}{x - 2}.$

1)

Дана функция $y = \frac{x^2 - 3x - 10}{x + 2}$.
Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно:
$x + 2 \neq 0$
$x \neq -2$
Теперь упростим выражение для функции. Разложим числитель $x^2 - 3x - 10$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.
Используем теорему Виета:
$x_1 + x_2 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = -10$
Отсюда корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.
Тогда разложение числителя на множители имеет вид $(x - 5)(x + 2)$.
Подставим это в исходную функцию:
$y = \frac{(x - 5)(x + 2)}{x + 2}$
При условии, что $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x + 2)$:
$y = x - 5$
Это уравнение прямой. Таким образом, график исходной функции представляет собой прямую $y = x - 5$, на которой удалена ("выколота") точка, соответствующая абсциссе $x = -2$.
Найдем ординату этой выколотой точки, подставив $x = -2$ в уравнение прямой:
$y = -2 - 5 = -7$
Значит, точка с координатами $(-2, -7)$ не принадлежит графику функции.
Для построения графика прямой $y = x - 5$ достаточно двух точек. Например:
- при $x=0$, $y=-5$; точка $(0, -5)$.
- при $x=5$, $y=0$; точка $(5, 0)$.
Строим прямую, проходящую через эти точки, и отмечаем на ней выколотую точку $(-2, -7)$ пустым кружком.
Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 5$ с выколотой точкой $(-2, -7)$.

2)

Дана функция $y = \frac{5x^2 + 4x - 1}{x + 1} - \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.
Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$
Упростим каждую дробь в выражении.
Рассмотрим первую дробь $\frac{5x^2 + 4x - 1}{x + 1}$. Разложим числитель на множители, решив уравнение $5x^2 + 4x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$; $x_2 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Следовательно, $5x^2 + 4x - 1 = 5(x - (-1))(x - \frac{1}{5}) = (x + 1)(5x - 1)$.
Тогда первая дробь равна $\frac{(x + 1)(5x - 1)}{x + 1} = 5x - 1$ при $x \neq -1$.
Рассмотрим вторую дробь $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
Тогда вторая дробь равна $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$ при $x \neq 2$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в функцию:
$y = (5x - 1) - (x + 2)$
$y = 5x - 1 - x - 2$
$y = 4x - 3$
График исходной функции - это прямая $y = 4x - 3$ с двумя выколотыми точками, абсциссы которых $x = -1$ и $x = 2$.
Найдем ординаты этих точек, подставляя их абсциссы в уравнение прямой $y = 4x - 3$:
- при $x = -1$: $y = 4(-1) - 3 = -4 - 3 = -7$. Выколотая точка $(-1, -7)$.
- при $x = 2$: $y = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5$. Выколотая точка $(2, 5)$.
Для построения прямой $y = 4x - 3$ найдем две любые точки, например:
- при $x = 0$, $y = -3$; точка $(0, -3)$.
- при $x = 1$, $y = 4(1) - 3 = 1$; точка $(1, 1)$.
Строим прямую через эти точки и отмечаем на ней выколотые точки $(-1, -7)$ и $(2, 5)$ пустыми кружками.
Ответ: Графиком функции является прямая $y = 4x - 3$ с выколотыми точками $(-1, -7)$ и $(2, 5)$.