Номер 153, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 13x + 5 = 0$. Не решая уравнения, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$;

3) $x_1^2 + x_2^2$;

4) $x_1^3 + x_2^3$;

5) $(x_1 - x_2)^2$;

6) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.

Для решения данной задачи нам не нужно находить сами корни $x_1$ и $x_2$. Вместо этого мы воспользуемся теоремой Виета для заданного квадратного уравнения $x^2 - 13x + 5 = 0$.

Согласно теореме Виета для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

Для нашего уравнения $x^2 - 13x + 5 = 0$ имеем $p = -13$ и $q = 5$.Следовательно:

• $x_1 + x_2 = -(-13) = 13$
• $x_1 x_2 = 5$

Теперь, используя эти два соотношения, мы можем найти значения всех требуемых выражений.

1) Найдем значение выражения $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x_1x_2$:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$
Подставим известные нам значения суммы и произведения корней:
$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{13}{5} = 2,6$
Ответ: $2,6$.

2) Найдем значение выражения $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$.
Вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
Подставим известные значения:
$x_1x_2(x_1 + x_2) = 5 \cdot 13 = 65$
Ответ: $65$.

3) Найдем значение выражения $x_1^2 + x_2^2$.
Это выражение можно получить из квадрата суммы $(x_1 + x_2)^2$.
$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$
Отсюда выразим сумму квадратов:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Подставим известные значения:
$x_1^2 + x_2^2 = 13^2 - 2 \cdot 5 = 169 - 10 = 159$
Ответ: $159$.

4) Найдем значение выражения $x_1^3 + x_2^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов, выраженной через симметрические многочлены:
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$
Подставим известные значения:
$x_1^3 + x_2^3 = 13^3 - 3 \cdot 5 \cdot 13 = 2197 - 15 \cdot 13 = 2197 - 195 = 2002$
Другой способ:
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1x_2)$
Используя результат из пункта 3 ($x_1^2 + x_2^2 = 159$), получаем:
$13 \cdot (159 - 5) = 13 \cdot 154 = 2002$
Ответ: $2002$.

5) Найдем значение выражения $(x_1 - x_2)^2$.
Раскроем квадрат разности и преобразуем его так, чтобы использовать известные нам сумму и произведение корней:
$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$
Подставим известные значения:
$(x_1 - x_2)^2 = 13^2 - 4 \cdot 5 = 169 - 20 = 149$
Ответ: $149$.

6) Найдем значение выражения $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x_1x_2)^2$:
$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2}$
Подставим значение $x_1^2 + x_2^2 = 159$ из пункта 3 и значение произведения корней:
$\frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \frac{159}{5^2} = \frac{159}{25} = 6,36$
Ответ: $6,36$.