Номер 5, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 5, страница 59.

Условие.

5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

1) $a^2 + 10a + 25;$

2) $4x^2 - 4x + 1;$

3) $64n^2 - 80nq + 25q^2;$

4) $72xy + 16x^2 + 81y^2;$

5) $m^8 - 6m^4n^5 + 9n^{10};$

6) $49x^{12} + y^6 + 14x^6y^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $a^2 + 10a + 25$

Чтобы представить данный трехчлен в виде квадрата двучлена, мы используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
В нашем выражении $a^2 + 10a + 25$ определим, какие члены могут соответствовать $A^2$ и $B^2$.
Первый член $a^2$ можно представить как квадрат $a$, то есть $A^2 = a^2$, откуда $A=a$.
Третий член $25$ можно представить как квадрат $5$, то есть $B^2 = 25 = 5^2$, откуда $B=5$.
Теперь необходимо проверить, соответствует ли средний член $10a$ удвоенному произведению $2AB$.
$2AB = 2 \cdot a \cdot 5 = 10a$.
Поскольку средний член совпадает с удвоенным произведением, мы можем записать исходный трехчлен в виде квадрата суммы:
$a^2 + 10a + 25 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + (5)^2 = (a+5)^2$.
Ответ: $(a+5)^2$.

2) $4x^2 - 4x + 1$

В этом случае мы используем формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Рассмотрим трехчлен $4x^2 - 4x + 1$.
Первый член $4x^2$ является квадратом выражения $2x$, то есть $A^2 = (2x)^2$, откуда $A=2x$.
Третий член $1$ является квадратом $1$, то есть $B^2 = 1^2$, откуда $B=1$.
Проверим, равен ли средний член $-4x$ удвоенному произведению $2AB$ со знаком минус.
$2AB = 2 \cdot (2x) \cdot 1 = 4x$.
Средний член в выражении равен $-4x$, что совпадает с $-2AB$. Следовательно, трехчлен можно представить в виде квадрата разности:
$4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = (2x-1)^2$.
Ответ: $(2x-1)^2$.

3) $64n^2 - 80nq + 25q^2$

Здесь также применяется формула квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
В выражении $64n^2 - 80nq + 25q^2$ найдем $A$ и $B$.
$A^2 = 64n^2 = (8n)^2$, следовательно, $A = 8n$.
$B^2 = 25q^2 = (5q)^2$, следовательно, $B = 5q$.
Проверим средний член. Он должен быть равен $-2AB$.
$2AB = 2 \cdot (8n) \cdot (5q) = 2 \cdot 40nq = 80nq$.
Средний член исходного выражения равен $-80nq$, что соответствует $-2AB$. Таким образом, мы можем записать:
$64n^2 - 80nq + 25q^2 = (8n)^2 - 2 \cdot (8n) \cdot (5q) + (5q)^2 = (8n-5q)^2$.
Ответ: $(8n-5q)^2$.

4) $72xy + 16x^2 + 81y^2$

Сначала перегруппируем члены, чтобы они соответствовали стандартному виду формулы $A^2+2AB+B^2$: $16x^2 + 72xy + 81y^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$.
$A^2 = 16x^2 = (4x)^2$, значит $A = 4x$.
$B^2 = 81y^2 = (9y)^2$, значит $B = 9y$.
Проверим, равен ли средний член $72xy$ удвоенному произведению $2AB$.
$2AB = 2 \cdot (4x) \cdot (9y) = 2 \cdot 36xy = 72xy$.
Условие выполняется. Следовательно:
$16x^2 + 72xy + 81y^2 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot (9y) + (9y)^2 = (4x+9y)^2$.
Ответ: $(4x+9y)^2$.

5) $m^8 - 6m^4n^5 + 9n^{10}$

Используем формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$ для выражения $m^8 - 6m^4n^5 + 9n^{10}$.
$A^2 = m^8 = (m^4)^2$, отсюда $A = m^4$.
$B^2 = 9n^{10} = (3n^5)^2$, отсюда $B = 3n^5$.
Проверим средний член $-6m^4n^5$.
$2AB = 2 \cdot (m^4) \cdot (3n^5) = 6m^4n^5$.
Средний член равен $-2AB$, значит, это квадрат разности:
$m^8 - 6m^4n^5 + 9n^{10} = (m^4)^2 - 2 \cdot m^4 \cdot (3n^5) + (3n^5)^2 = (m^4 - 3n^5)^2$.
Ответ: $(m^4 - 3n^5)^2$.

6) $49x^{12} + y^6 + 14x^6y^3$

Переставим члены для удобства в вид $A^2+2AB+B^2$: $49x^{12} + 14x^6y^3 + y^6$.
Используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$.
$A^2 = 49x^{12} = (7x^6)^2$, значит $A = 7x^6$.
$B^2 = y^6 = (y^3)^2$, значит $B = y^3$.
Проверим средний член $14x^6y^3$.
$2AB = 2 \cdot (7x^6) \cdot (y^3) = 14x^6y^3$.
Условие выполняется. Таким образом:
$49x^{12} + 14x^6y^3 + y^6 = (7x^6)^2 + 2 \cdot (7x^6) \cdot (y^3) + (y^3)^2 = (7x^6 + y^3)^2$.
Ответ: $(7x^6 + y^3)^2$.