Номер 11, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $x$, допустимыми значениями которой являются:

1) все числа, кроме 8;

2) все числа, кроме $-3$ и 5;

3) все числа, кроме $-4$, 4 и 7;

4) все числа.

Рациональная дробь — это дробь вида $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. Область допустимых значений (ОДЗ) такой дроби — это все значения переменной $x$, при которых знаменатель $Q(x)$ не равен нулю, то есть $Q(x) \neq 0$. Чтобы найти дробь с заданной ОДЗ, нужно составить такой знаменатель, который обращается в ноль именно в тех точках, которые исключены из области допустимых значений.

1) все числа, кроме 8
Чтобы из области допустимых значений было исключено только число 8, знаменатель дроби должен быть равен нулю при $x=8$. Самый простой многочлен, который удовлетворяет этому условию, — это $x-8$. В числителе можно использовать переменную $x$, чтобы вся дробь содержала $x$.
Таким образом, искомая дробь может иметь вид $\frac{x}{x-8}$.
Ответ: $\frac{x}{x-8}$

2) все числа, кроме –3 и 5
Знаменатель должен обращаться в ноль при $x = -3$ и при $x = 5$. Для этого он должен содержать множители $(x - (-3))$ и $(x - 5)$. Перемножив их, получим знаменатель $(x+3)(x-5)$.
Дробь может иметь вид $\frac{x}{(x+3)(x-5)}$. Раскрыв скобки в знаменателе, получим $\frac{x}{x^2-2x-15}$. Оба варианта верны.
Ответ: $\frac{x}{(x+3)(x-5)}$

3) все числа, кроме –4, 4 и 7
Знаменатель должен обращаться в ноль при $x = -4$, $x = 4$ и $x = 7$. Следовательно, он должен содержать множители $(x - (-4))$, $(x - 4)$ и $(x - 7)$.
Перемножив их, получим знаменатель $(x+4)(x-4)(x-7)$.
Искомая дробь может иметь вид $\frac{x}{(x+4)(x-4)(x-7)}$.
Ответ: $\frac{x}{(x+4)(x-4)(x-7)}$

4) все числа
Если допустимыми являются все числа, то знаменатель дроби не должен обращаться в ноль ни при каких значениях $x$.
Можно взять в качестве знаменателя любое положительное число, например 1. Тогда дробь будет $\frac{x}{1}$, что равно $x$.
Другой вариант — использовать многочлен, не имеющий действительных корней, например $x^2+1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+1 \ge 1$, и знаменатель никогда не будет равен нулю.
Дробь может иметь вид $\frac{1}{x^2+1}$ или $\frac{x}{x^2+1}$.
Ответ: $\frac{x}{x^2+1}$