Номер 18, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 18, страница 62.

Условие.

18. Решите уравнение:

1) $\frac{x + 9}{x + 9} = 1;$

2) $\frac{x^2 - 36}{x - 6} = 12;$

3) $\frac{x + 15}{|x| - 15} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{x+9}{x+9} = 1$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых уравнение имеет смысл. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

$x + 9 \neq 0$

$x \neq -9$

При любом значении $x$, которое входит в ОДЗ (то есть, при $x \neq -9$), числитель и знаменатель дроби равны. Любое ненулевое число, разделенное на само себя, равно 1. Следовательно, равенство $\frac{x+9}{x+9} = 1$ является верным для всех допустимых значений $x$.

Ответ: $x$ — любое число, кроме $-9$.

2) $\frac{x^2 - 36}{x - 6} = 12$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$x - 6 \neq 0$

$x \neq 6$

Теперь упростим левую часть уравнения. Числитель $x^2 - 36$ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$

Подставим разложенный числитель обратно в уравнение:

$\frac{(x-6)(x+6)}{x-6} = 12$

Поскольку $x \neq 6$, мы можем сократить дробь на $(x-6)$:

$x+6=12$

Решим полученное линейное уравнение:

$x = 12 - 6$

$x = 6$

Полученный корень $x=6$ не удовлетворяет области допустимых значений ($x \neq 6$). Следовательно, это посторонний корень, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3) $\frac{x+15}{|x|-15} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Запишем это в виде системы условий:

$\begin{cases} x+15 = 0 \\ |x|-15 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим единственное возможное значение $x$:

$x+15 = 0 \implies x = -15$

Теперь проверим, удовлетворяет ли это значение второму условию системы, то есть не обращается ли знаменатель в ноль при $x=-15$.

Подставим $x=-15$ в выражение для знаменателя:

$|x|-15 = |-15| - 15 = 15 - 15 = 0$

Поскольку при $x=-15$ знаменатель обращается в ноль, это значение не входит в область допустимых значений уравнения и не является его корнем. Так как других кандидатов в корни нет, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.