Номер 24, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 24, страница 63.

Условие.

24. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{6}{x} + \frac{8}{y}$;

2) $\frac{2}{c} - \frac{7}{cd}$;

3) $\frac{9}{10mn} - \frac{14}{15mn}$;

4) $\frac{7a}{6m^2n} + \frac{9b}{4mn} - \frac{3c}{8mn^2}$;

5) $\frac{2x^2 - 4y^2}{xy} + \frac{6x + 4y}{x}$;

6) $\frac{4b^2 - 6b + 1}{ab^2} - \frac{b - 5}{ab}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{6}{x}$ и $\frac{8}{y}$ наименьшим общим знаменателем (НОЗ) является их произведение $xy$. Домножим первую дробь на $y$, а вторую на $x$.

$\frac{6}{x} + \frac{8}{y} = \frac{6 \cdot y}{x \cdot y} + \frac{8 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{6y}{xy} + \frac{8x}{xy} = \frac{6y + 8x}{xy}$

Ответ: $\frac{6y + 8x}{xy}$

2) Для вычитания дробей $\frac{2}{c}$ и $\frac{7}{cd}$ найдем общий знаменатель. НОЗ для знаменателей $c$ и $cd$ является $cd$. Домножим первую дробь на дополнительный множитель $d$.

$\frac{2}{c} - \frac{7}{cd} = \frac{2 \cdot d}{c \cdot d} - \frac{7}{cd} = \frac{2d - 7}{cd}$

Ответ: $\frac{2d - 7}{cd}$

3) Знаменатели дробей $\frac{9}{10mn}$ и $\frac{14}{15mn}$ отличаются только числовыми коэффициентами. Найдем наименьшее общее кратное для чисел 10 и 15. НОК(10, 15) = 30. Таким образом, НОЗ равен $30mn$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $30/10=3$, для второй — $30/15=2$.

$\frac{9}{10mn} - \frac{14}{15mn} = \frac{9 \cdot 3}{30mn} - \frac{14 \cdot 2}{30mn} = \frac{27 - 28}{30mn} = \frac{-1}{30mn} = -\frac{1}{30mn}$

Ответ: $-\frac{1}{30mn}$

4) Для нахождения общего знаменателя дробей $\frac{7a}{6m^2n}$, $\frac{9b}{4mn}$ и $\frac{3c}{8mn^2}$ найдем НОК для числовых коэффициентов и для каждой переменной в наивысшей степени. НОК(6, 4, 8) = 24. Наивысшая степень для $m$ — это $m^2$, для $n$ — это $n^2$. НОЗ равен $24m^2n^2$.

Дополнительные множители: для первой дроби $\frac{24m^2n^2}{6m^2n} = 4n$, для второй $\frac{24m^2n^2}{4mn} = 6mn$, для третьей $\frac{24m^2n^2}{8mn^2} = 3m$.

$\frac{7a \cdot 4n}{24m^2n^2} + \frac{9b \cdot 6mn}{24m^2n^2} - \frac{3c \cdot 3m}{24m^2n^2} = \frac{28an + 54bmn - 9cm}{24m^2n^2}$

Ответ: $\frac{28an + 54bmn - 9cm}{24m^2n^2}$

5) Общий знаменатель для дробей $\frac{2x^2 - 4y^2}{xy}$ и $\frac{6x + 4y}{x}$ — это $xy$. Домножим вторую дробь на $y$.

$\frac{2x^2 - 4y^2}{xy} + \frac{(6x + 4y) \cdot y}{xy} = \frac{2x^2 - 4y^2 + 6xy + 4y^2}{xy} = \frac{2x^2 + 6xy}{xy}$

Вынесем общий множитель $2x$ в числителе и сократим дробь:

$\frac{2x(x + 3y)}{xy} = \frac{2(x + 3y)}{y}$

Ответ: $\frac{2(x + 3y)}{y}$

6) Общий знаменатель для дробей $\frac{4b^2 - 6b + 1}{ab^2}$ и $\frac{b - 5}{ab}$ — это $ab^2$. Домножим вторую дробь на $b$.

$\frac{4b^2 - 6b + 1}{ab^2} - \frac{(b - 5) \cdot b}{ab^2} = \frac{(4b^2 - 6b + 1) - (b^2 - 5b)}{ab^2}$

Раскроем скобки в числителе, учитывая знак минус, и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4b^2 - 6b + 1 - b^2 + 5b}{ab^2} = \frac{3b^2 - b + 1}{ab^2}$

Ответ: $\frac{3b^2 - b + 1}{ab^2}$