Номер 27, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 27, страница 63.

Условие.

27. Упростите выражение:

1) $\frac{4x^2 + 9y^2}{4x^2 - 9y^2} - \frac{3y}{2x + 3y} + \frac{3y}{3y - 2x}$;

2) $\frac{x + 6}{5x - 10} - \frac{3}{x} - \frac{26 - 5x}{5x^2 - 10x}$;

3) $\frac{c + 1}{2c^2 - 24c + 72} - \frac{1}{7c - 42}$;

4) $\frac{y + 3}{2y + 2} - \frac{y + 1}{2y - 2} + \frac{3}{y^2 - 1}$;

5) $\frac{a + 1}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1} + \frac{a^3 + a + 1}{a^3 - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Исходное выражение: $\frac{4x^2 + 9y^2}{4x^2 - 9y^2} - \frac{3y}{2x + 3y} + \frac{3y}{3y - 2x}$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$.

В знаменателе третьей дроби вынесем минус за скобки: $3y - 2x = -(2x - 3y)$. Знак перед дробью изменится на противоположный.

$\frac{4x^2 + 9y^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)} - \frac{3y}{2x + 3y} - \frac{3y}{2x - 3y}$

Общий знаменатель для всех дробей: $(2x - 3y)(2x + 3y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4x^2 + 9y^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)} - \frac{3y(2x - 3y)}{(2x + 3y)(2x - 3y)} - \frac{3y(2x + 3y)}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$

Объединим дроби:

$\frac{(4x^2 + 9y^2) - 3y(2x - 3y) - 3y(2x + 3y)}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{4x^2 + 9y^2 - 6xy + 9y^2 - 6xy - 9y^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{4x^2 - 12xy + 9y^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$

Числитель является полным квадратом разности: $4x^2 - 12xy + 9y^2 = (2x - 3y)^2$.

$\frac{(2x - 3y)^2}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$

Сократим дробь на $(2x - 3y)$:

$\frac{2x - 3y}{2x + 3y}$

Ответ: $\frac{2x - 3y}{2x + 3y}$

2)

Исходное выражение: $\frac{x+6}{5x-10} - \frac{3}{x} - \frac{26-5x}{5x^2-10x}$

Разложим знаменатели на множители:

$5x-10 = 5(x-2)$

$5x^2-10x = 5x(x-2)$

Общий знаменатель: $5x(x-2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(x+6) \cdot x}{5(x-2) \cdot x} - \frac{3 \cdot 5(x-2)}{x \cdot 5(x-2)} - \frac{26-5x}{5x(x-2)}$

$\frac{x^2+6x}{5x(x-2)} - \frac{15x-30}{5x(x-2)} - \frac{26-5x}{5x(x-2)}$

Объединим дроби:

$\frac{(x^2+6x) - (15x-30) - (26-5x)}{5x(x-2)}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^2+6x - 15x+30 - 26+5x}{5x(x-2)} = \frac{x^2 + (6-15+5)x + (30-26)}{5x(x-2)} = \frac{x^2 - 4x + 4}{5x(x-2)}$

Числитель является полным квадратом разности: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

$\frac{(x-2)^2}{5x(x-2)}$

Сократим дробь на $(x-2)$:

$\frac{x-2}{5x}$

Ответ: $\frac{x-2}{5x}$

3)

Исходное выражение: $\frac{c+1}{2c^2 - 24c + 72} - \frac{1}{7c - 42}$

Разложим знаменатели на множители:

$2c^2 - 24c + 72 = 2(c^2 - 12c + 36) = 2(c-6)^2$ (используя формулу квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$).

$7c - 42 = 7(c - 6)$

Общий знаменатель: $14(c-6)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(c+1) \cdot 7}{2(c-6)^2 \cdot 7} - \frac{1 \cdot 2(c-6)}{7(c-6) \cdot 2(c-6)}$

$\frac{7c+7}{14(c-6)^2} - \frac{2c-12}{14(c-6)^2}$

Объединим дроби:

$\frac{(7c+7) - (2c-12)}{14(c-6)^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{7c+7 - 2c+12}{14(c-6)^2} = \frac{5c+19}{14(c-6)^2}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{5c+19}{14(c-6)^2}$

4)

Исходное выражение: $\frac{y+3}{2y+2} - \frac{y+1}{2y-2} + \frac{3}{y^2-1}$

Разложим знаменатели на множители:

$2y+2 = 2(y+1)$

$2y-2 = 2(y-1)$

$y^2-1 = (y-1)(y+1)$

Общий знаменатель: $2(y-1)(y+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(y+3)(y-1)}{2(y+1)(y-1)} - \frac{(y+1)(y+1)}{2(y-1)(y+1)} + \frac{3 \cdot 2}{(y-1)(y+1) \cdot 2}$

$\frac{y^2-y+3y-3}{2(y-1)(y+1)} - \frac{y^2+2y+1}{2(y-1)(y+1)} + \frac{6}{2(y-1)(y+1)}$

Объединим дроби:

$\frac{(y^2+2y-3) - (y^2+2y+1) + 6}{2(y-1)(y+1)}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{y^2+2y-3 - y^2-2y-1 + 6}{2(y-1)(y+1)} = \frac{(y^2-y^2) + (2y-2y) + (-3-1+6)}{2(y^2-1)} = \frac{2}{2(y^2-1)}$

Сократим дробь на 2:

$\frac{1}{y^2-1}$

Ответ: $\frac{1}{y^2-1}$

5)

Исходное выражение: $\frac{a+1}{a^2+a+1} - \frac{1}{a-1} + \frac{a^3+a+1}{a^3-1}$

Разложим знаменатель последней дроби по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$

Заметим, что знаменатели первых двух дробей являются множителями знаменателя третьей дроби. Следовательно, общий знаменатель равен $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(a+1)(a-1)}{(a^2+a+1)(a-1)} - \frac{1(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} + \frac{a^3+a+1}{a^3-1}$

$\frac{a^2-1}{a^3-1} - \frac{a^2+a+1}{a^3-1} + \frac{a^3+a+1}{a^3-1}$

Объединим дроби:

$\frac{(a^2-1) - (a^2+a+1) + (a^3+a+1)}{a^3-1}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2-1 - a^2-a-1 + a^3+a+1}{a^3-1} = \frac{a^3 + (a^2-a^2) + (-a+a) + (-1-1+1)}{a^3-1} = \frac{a^3-1}{a^3-1}$

Сократим дробь:

$1$

Ответ: $1$