Номер 31, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 31, страница 64.

Условие.

31. Выполните деление:

1) $\frac{21b^8}{10c^6} : \frac{7b^2}{30c^3}$;

2) $\frac{40a^5b^9}{39c^6d^{14}} : \left(-\frac{5a^8b^3}{26c^{12}d^7}\right)$;

3) $36x^{16}y^{14} : \frac{18x^{18}y^{10}}{11m^3}$;

4) $\frac{60m^6n^5}{17p^4} : (15m^8n^{10})$;

5) $\frac{17a^6b^{10}}{16c^2d^5} : \frac{34a^4b^4}{24c^6d^6} : \frac{15b^8d^4}{8a^8c^3}$;

6) $\left(-\frac{9x^5y^2}{7z^4}\right)^3 : \left(-\frac{9x^4y^{10}}{7z^3}\right)^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$ \frac{21b^8}{10c^6} : \frac{7b^2}{30c^3} = \frac{21b^8}{10c^6} \cdot \frac{30c^3}{7b^2} $
Теперь сгруппируем числовые коэффициенты и переменные и выполним сокращение:
$ \frac{21 \cdot 30}{10 \cdot 7} \cdot \frac{b^8 c^3}{c^6 b^2} = \frac{3 \cdot \cancel{7} \cdot 3 \cdot \cancel{10}}{\cancel{10} \cdot \cancel{7}} \cdot b^{8-2} \cdot c^{3-6} = 9 \cdot b^6 \cdot c^{-3} = \frac{9b^6}{c^3} $
Ответ: $ \frac{9b^6}{c^3} $

2) Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь. Так как мы делим на отрицательное число, результат будет отрицательным:
$ \frac{40a^5b^9}{39c^6d^{14}} : \left(-\frac{5a^8b^3}{26c^{12}d^7}\right) = - \frac{40a^5b^9}{39c^6d^{14}} \cdot \frac{26c^{12}d^7}{5a^8b^3} $
Группируем и сокращаем коэффициенты ($40$ и $5$, $26$ и $39$) и переменные:
$ - \frac{40 \cdot 26}{39 \cdot 5} \cdot \frac{a^5 b^9 c^{12} d^7}{c^6 d^{14} a^8 b^3} = - \frac{8 \cdot \cancel{5} \cdot 2 \cdot \cancel{13}}{3 \cdot \cancel{13} \cdot \cancel{5}} \cdot a^{5-8} b^{9-3} c^{12-6} d^{7-14} = -\frac{16}{3} a^{-3}b^6c^6d^{-7} = -\frac{16b^6c^6}{3a^3d^7} $
Ответ: $ -\frac{16b^6c^6}{3a^3d^7} $

3) Представим одночлен $36x^{16}y^{14}$ в виде дроби со знаменателем 1 и заменим деление умножением на обратную дробь:
$ 36x^{16}y^{14} : \frac{18x^{18}y^{10}}{11m^3} = \frac{36x^{16}y^{14}}{1} \cdot \frac{11m^3}{18x^{18}y^{10}} $
Сокращаем коэффициенты ($36$ и $18$) и вычисляем степени переменных:
$ \frac{36 \cdot 11}{18} \cdot \frac{x^{16} y^{14} m^3}{x^{18} y^{10}} = 2 \cdot 11 \cdot x^{16-18} y^{14-10} m^3 = 22 x^{-2} y^4 m^3 = \frac{22m^3y^4}{x^2} $
Ответ: $ \frac{22m^3y^4}{x^2} $

4) Представим одночлен $15m^8n^{10}$ в виде дроби $ \frac{15m^8n^{10}}{1} $ и выполним деление:
$ \frac{60m^6n^5}{17p^4} : (15m^8n^{10}) = \frac{60m^6n^5}{17p^4} \cdot \frac{1}{15m^8n^{10}} $
Выполняем сокращение и умножение:
$ \frac{60}{17 \cdot 15} \cdot \frac{m^6 n^5}{p^4 m^8 n^{10}} = \frac{4}{17} \cdot \frac{m^{6-8} n^{5-10}}{p^4} = \frac{4}{17} \cdot \frac{m^{-2} n^{-5}}{p^4} = \frac{4}{17m^2n^5p^4} $
Ответ: $ \frac{4}{17m^2n^5p^4} $

5) Выполним операции последовательно слева направо. Заменим деление умножением на обратную дробь.
$ \frac{17a^6b^{10}}{16c^2d^5} \cdot \frac{34a^4b^4}{24c^6d^6} : \frac{15b^8d^4}{8a^8c^3} = \frac{17a^6b^{10}}{16c^2d^5} \cdot \frac{34a^4b^4}{24c^6d^6} \cdot \frac{8a^8c^3}{15b^8d^4} $
Объединим все в одну дробь и сгруппируем коэффициенты и переменные для сокращения:
$ \frac{17 \cdot 34 \cdot 8}{16 \cdot 24 \cdot 15} \cdot \frac{(a^6 a^4 a^8) (b^{10} b^4) c^3}{(c^2 c^6) (d^5 d^6 d^4) b^8} = \frac{17 \cdot (2 \cdot 17) \cdot 8}{(2 \cdot 8) \cdot 24 \cdot 15} \cdot \frac{a^{18}b^{14}c^3}{b^8c^8d^{15}} $
Сокращаем коэффициенты и степени:
$ \frac{17^2}{24 \cdot 15} \cdot a^{18} b^{14-8} c^{3-8} d^{-15} = \frac{289}{360} a^{18}b^6c^{-5}d^{-15} = \frac{289a^{18}b^6}{360c^5d^{15}} $
Ответ: $ \frac{289a^{18}b^6}{360c^5d^{15}} $

6) Сначала возведем каждую дробь в соответствующую степень, используя правило $ (x^a)^b = x^{ab} $.
Первая дробь: $ \left(-\frac{9x^5y^2}{7z^4}\right)^3 = -\frac{9^3(x^5)^3(y^2)^3}{7^3(z^4)^3} = -\frac{729x^{15}y^6}{343z^{12}} $ (знак минус сохраняется, так как степень нечетная).
Вторая дробь: $ \left(-\frac{9x^4y^{10}}{7z^3}\right)^4 = +\frac{9^4(x^4)^4(y^{10})^4}{7^4(z^3)^4} = \frac{6561x^{16}y^{40}}{2401z^{12}} $ (знак становится плюсом, так как степень четная).
Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$ \left(-\frac{729x^{15}y^6}{343z^{12}}\right) : \left(\frac{6561x^{16}y^{40}}{2401z^{12}}\right) = -\frac{729x^{15}y^6}{343z^{12}} \cdot \frac{2401z^{12}}{6561x^{16}y^{40}} $
Для удобства сокращения используем степени чисел 7 и 9 ($729=9^3, 6561=9^4, 343=7^3, 2401=7^4$):
$ -\frac{9^3 x^{15} y^6}{7^3 z^{12}} \cdot \frac{7^4 z^{12}}{9^4 x^{16} y^{40}} = -\frac{9^3 \cdot 7^4}{7^3 \cdot 9^4} \cdot \frac{x^{15}y^6z^{12}}{z^{12}x^{16}y^{40}} = -\frac{7}{9} \cdot x^{15-16} y^{6-40} z^{12-12} = -\frac{7}{9} x^{-1}y^{-34}z^0 = -\frac{7}{9xy^{34}} $
Ответ: $ -\frac{7}{9xy^{34}} $