Номер 37, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 37, страница 66.

Условие.

37. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения

$(\frac{1}{a+2} - \frac{12}{a^3+8} + \frac{6}{a^2-2a+4}) \cdot (a - \frac{4a-4}{a+2})$

не зависит от значения $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной $a$, необходимо упростить это выражение и показать, что в результате получится константа (число).

Исходное выражение:

$$ \left( \frac{1}{a+2} - \frac{12}{a^3+8} + \frac{6}{a^2-2a+4} \right) \cdot \left( a - \frac{4a-4}{a+2} \right) $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

• $a+2 \neq 0 \implies a \neq -2$
• $a^3+8 \neq 0$. Разложим на множители: $(a+2)(a^2-2a+4) \neq 0$. Это также дает $a \neq -2$.
• $a^2-2a+4 \neq 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, трехчлен не имеет действительных корней и его значение всегда положительно.

Таким образом, единственное ограничение: $a \neq -2$.

Упростим выражение по действиям, выполняя преобразования в каждой скобке.

1. Упростим выражение в первой скобке: $ \left( \frac{1}{a+2} - \frac{12}{a^3+8} + \frac{6}{a^2-2a+4} \right) $.

Разложим знаменатель $a^3+8$ на множители по формуле суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(a+2)(a^2-2a+4)$:

$$ \frac{1 \cdot (a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} - \frac{12}{(a+2)(a^2-2a+4)} + \frac{6 \cdot (a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = $$

Объединим дроби, записав все под общим знаменателем:

$$ = \frac{(a^2-2a+4) - 12 + 6(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{a^2-2a+4 - 12 + 6a+12}{(a+2)(a^2-2a+4)} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ = \frac{a^2 + (-2a+6a) + (4-12+12)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{a^2+4a+4}{(a+2)(a^2-2a+4)} $$

Числитель $a^2+4a+4$ является полным квадратом: $(a+2)^2$.

$$ \frac{(a+2)^2}{(a+2)(a^2-2a+4)} $$

Сократим дробь на $(a+2)$, так как по ОДЗ $a \neq -2$:

$$ \frac{a+2}{a^2-2a+4} $$

2. Упростим выражение во второй скобке: $ \left( a - \frac{4a-4}{a+2} \right) $.

Приведем к общему знаменателю $(a+2)$:

$$ \frac{a(a+2)}{a+2} - \frac{4a-4}{a+2} = \frac{a(a+2) - (4a-4)}{a+2} = \frac{a^2+2a-4a+4}{a+2} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ = \frac{a^2-2a+4}{a+2} $$

3. Теперь перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$$ \left( \frac{a+2}{a^2-2a+4} \right) \cdot \left( \frac{a^2-2a+4}{a+2} \right) $$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$$ \frac{\cancel{(a+2)}}{\cancel{(a^2-2a+4)}} \cdot \frac{\cancel{(a^2-2a+4)}}{\cancel{(a+2)}} = 1 $$

Мы получили, что при всех допустимых значениях $a$ (то есть при $a \neq -2$) значение исходного выражения равно 1. Так как результат является числом, он не зависит от значения переменной $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Значение выражения равно 1, оно не зависит от $a$.