Номер 42, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 42, страница 66.

Условие.

42. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $\frac{x+6}{x-a} = 0;$

2) $\frac{x+a}{x-8} = 0;$

3) $\frac{(a+2)(x-a)}{x-9} = 0;$

4) $\frac{(x+a)(x-2)}{x-5} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Данное уравнение $\frac{x+6}{x-a}=0$ является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это приводит к системе уравнений:
$ \begin{cases} x+6=0 \\ x-a \neq 0 \end{cases} $
Из первого уравнения находим потенциальный корень: $x = -6$.
Теперь подставим этот корень во второе условие (ОДЗ - область допустимых значений), чтобы найти значения параметра $a$, при которых этот корень является решением:
$-6 - a \neq 0$, что равносильно $a \neq -6$.
Таким образом, мы должны рассмотреть два случая:
1. Если $a = -6$, то корень $x=-6$ обращает знаменатель в ноль, что недопустимо. Следовательно, при $a=-6$ уравнение не имеет решений.
2. Если $a \neq -6$, то корень $x=-6$ удовлетворяет условию $x-a \neq 0$, и он является единственным решением уравнения.
Ответ: если $a = -6$, то корней нет; если $a \neq -6$, то $x = -6$.

2) Рассмотрим уравнение $\frac{x+a}{x-8}=0$. Условием равенства дроби нулю является равенство нулю числителя при условии, что знаменатель не равен нулю.
$ \begin{cases} x+a=0 \\ x-8 \neq 0 \end{cases} $
Из первого уравнения получаем $x = -a$.
Этот корень будет решением уравнения, если он не нарушает условие $x \neq 8$. Подставим $x=-a$ в это условие:
$-a \neq 8$, что равносильно $a \neq -8$.
Рассмотрим два случая для параметра $a$:
1. Если $a = -8$, то потенциальный корень $x = -(-8) = 8$. Это значение обращает знаменатель в ноль, поэтому оно не является решением. В этом случае у уравнения нет корней.
2. Если $a \neq -8$, то корень $x=-a$ не обращает знаменатель в ноль и, следовательно, является решением уравнения.
Ответ: если $a = -8$, то корней нет; если $a \neq -8$, то $x = -a$.

3) Рассмотрим уравнение $\frac{(a+2)(x-a)}{x-9}=0$. Оно равносильно системе:
$ \begin{cases} (a+2)(x-a)=0 \\ x-9 \neq 0 \end{cases} $
Анализируем уравнение числителя $(a+2)(x-a)=0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это зависит от параметра $a$.
Случай 1: $a+2=0$, то есть $a=-2$.
При $a=-2$ уравнение числителя принимает вид $0 \cdot (x-(-2)) = 0$, то есть $0=0$. Это верное равенство для любого $x$. Таким образом, при $a=-2$ исходное уравнение становится $\frac{0}{x-9}=0$. Это равенство истинно для всех $x$, для которых знаменатель не равен нулю, то есть $x-9 \neq 0 \implies x \neq 9$.
Случай 2: $a+2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$.
В этом случае, чтобы числитель был равен нулю, необходимо, чтобы $x-a=0$, откуда получаем потенциальный корень $x=a$. Этот корень является решением, если он удовлетворяет условию $x \neq 9$. То есть, $a \neq 9$.
- Если $a \neq -2$ и $a \neq 9$, то уравнение имеет единственный корень $x=a$.
- Если $a=9$ (при этом $a \neq -2$), то корень $x=a=9$ совпадает со значением, обращающим знаменатель в ноль, поэтому решений нет.
Объединяя все случаи, получаем:
Ответ: если $a = -2$, то $x$ - любое число, кроме $9$; если $a=9$, то корней нет; если $a \neq -2$ и $a \neq 9$, то $x=a$.

4) Рассмотрим уравнение $\frac{(x+a)(x-2)}{x-5}=0$. Оно равносильно системе:
$ \begin{cases} (x+a)(x-2)=0 \\ x-5 \neq 0 \end{cases} $
Уравнение числителя $(x+a)(x-2)=0$ имеет два потенциальных корня: $x_1=-a$ и $x_2=2$.
Каждый из этих корней будет решением, если он не равен 5.
Корень $x_2=2$ всегда является решением, так как $2 \neq 5$.
Корень $x_1=-a$ является решением, если $-a \neq 5$, то есть $a \neq -5$.
Также необходимо рассмотреть случай, когда корни совпадают: $x_1=x_2 \implies -a=2 \implies a=-2$.
Проанализируем все возможные значения параметра $a$:
1. Если $a = -5$. Потенциальные корни: $x_1 = -(-5) = 5$ и $x_2 = 2$. Корень $x=5$ не подходит по ОДЗ ($x \neq 5$), а корень $x=2$ подходит. Уравнение имеет одно решение: $x=2$.
2. Если $a = -2$. Потенциальные корни совпадают: $x_1 = -(-2) = 2$ и $x_2=2$. Этот корень $x=2$ подходит по ОДЗ ($2 \neq 5$). Уравнение имеет одно решение: $x=2$.
3. Если $a \neq -5$ и $a \neq -2$. В этом случае корни $x_1=-a$ и $x_2=2$ различны. Корень $x_2=2$ является решением. Корень $x_1=-a$ также является решением, так как $a \neq -5 \implies -a \neq 5$. Таким образом, уравнение имеет два решения: $x=-a$ и $x=2$.
Ответ: если $a=-5$ или $a=-2$, то $x=2$; если $a \neq -5$ и $a \neq -2$, то $x_1=-a, x_2=2$.