Номер 45, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 45, страница 67.

Условие.

45. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:

1) $\frac{4a^{-8}b^6c^{-12}}{7m^{-5}n^{-10}p^{-16}};

2) $\frac{9,4^0x^{-14}y^{-18}z^2}{8^{-1}a^0b^{-22}c^{-6}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано выражение: $ \frac{4a^{-8}b^6c^{-12}}{7m^{-5}n^{-10}p^{-16}} $.
Задача состоит в том, чтобы преобразовать выражение так, чтобы в нем не было степеней с отрицательными показателями. Для этого мы используем свойство степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Это свойство позволяет перемещать множитель из числителя в знаменатель (или наоборот), меняя знак его показателя степени на противоположный.

Шаги преобразования:

• Множители с отрицательными показателями в числителе ($a^{-8}$ и $c^{-12}$) переносим в знаменатель. Их показатели становятся положительными: $a^8$ и $c^{12}$.
• Множители с отрицательными показателями в знаменателе ($m^{-5}$, $n^{-10}$ и $p^{-16}$) переносим в числитель. Их показатели становятся положительными: $m^5$, $n^{10}$ и $p^{16}$.
• Множители с положительными показателями ($b^6$) и числовые коэффициенты (4 в числителе и 7 в знаменателе) оставляем на своих местах.

Собираем новое выражение:
$ \frac{4a^{-8}b^6c^{-12}}{7m^{-5}n^{-10}p^{-16}} = \frac{4 \cdot b^6 \cdot m^5 \cdot n^{10} \cdot p^{16}}{7 \cdot a^8 \cdot c^{12}} $

В итоговом выражении все показатели степеней положительны.

Ответ: $ \frac{4b^6m^5n^{10}p^{16}}{7a^8c^{12}} $

2) Дано выражение: $ \frac{9,4^0x^{-14}y^{-18}z^2}{8^{-1}a^0b^{-22}c^{-6}} $.
В данном выражении необходимо избавиться от степеней с нулевыми и отрицательными показателями. Будем считать, что запись "9,4" является опечаткой, и имелось в виду произведение $9 \cdot 4^0$.

Сначала упростим степени с нулевым показателем, используя свойство $x^0 = 1$ (для любого $x \neq 0$):

• $4^0 = 1$
• $a^0 = 1$

Подставим эти значения в выражение:
$ \frac{9 \cdot 1 \cdot x^{-14}y^{-18}z^2}{8^{-1} \cdot 1 \cdot b^{-22}c^{-6}} = \frac{9x^{-14}y^{-18}z^2}{8^{-1}b^{-22}c^{-6}} $

Теперь, как и в первом задании, избавимся от отрицательных показателей:

• Множители из числителя $x^{-14}$ и $y^{-18}$ переносим в знаменатель как $x^{14}$ и $y^{18}$.
• Множители из знаменателя $8^{-1}$, $b^{-22}$ и $c^{-6}$ переносим в числитель как $8^1=8$, $b^{22}$ и $c^6$.
• Множители $9$ и $z^2$ остаются в числителе.

Собираем новое выражение:
$ \frac{9 \cdot 8 \cdot b^{22} \cdot c^6 \cdot z^2}{x^{14}y^{18}} $

Выполним умножение числовых коэффициентов в числителе: $9 \cdot 8 = 72$.
Окончательный вид выражения:
$ \frac{72b^{22}c^6z^2}{x^{14}y^{18}} $

Ответ: $ \frac{72b^{22}c^6z^2}{x^{14}y^{18}} $