Номер 41, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 41, страница 66.

Условие.

41. Решите уравнение:

1) $ \frac{x+8}{x-2}=0; $

2) $ \frac{x^2-81}{x-9}=0; $

3) $ \frac{x+8}{x^2-64}=0; $

4) $ \frac{9}{x-2}-\frac{7}{x+2}=0; $

5) $ \frac{x-2}{x+3}=\frac{4x-1}{4x+1}; $

6) $ \frac{4x-3}{x+1}-\frac{6x-5}{2x+1}=1; $

7) $ \frac{x^2+33}{x^2-9}=\frac{8}{x+3}-\frac{x+4}{3-x}; $

8) $ \frac{6}{x^2+x}-\frac{x-6}{x^2-x}+\frac{10}{x^2-1}=0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Данное уравнение является рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Теперь приравняем числитель к нулю: $x + 8 = 0 \implies x = -8$. Полученный корень $x = -8$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq 2$). Ответ: $-8$.

2)

Определим ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю. $x - 9 \neq 0 \implies x \neq 9$. Приравняем числитель к нулю: $x^2 - 81 = 0$. Это разность квадратов: $(x - 9)(x + 9) = 0$. Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 9$ и $x_2 = -9$. Сравнивая с ОДЗ, видим, что корень $x_1 = 9$ является посторонним, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Единственным решением является $x = -9$. Ответ: $-9$.

3)

Найдем ОДЗ, потребовав, чтобы знаменатель не был равен нулю: $x^2 - 64 \neq 0 \implies (x - 8)(x + 8) \neq 0$. Следовательно, $x \neq 8$ и $x \neq -8$. Теперь приравняем числитель к нулю: $x + 8 = 0 \implies x = -8$. Полученное значение $x = -8$ не входит в ОДЗ, так как оно обращает знаменатель в ноль. Значит, это посторонний корень. Таким образом, уравнение не имеет решений. Ответ: корней нет.

4)

ОДЗ: $x - 2 \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Перенесем одну из дробей в правую часть уравнения: $\frac{9}{x - 2} = \frac{7}{x + 2}$. Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $9(x + 2) = 7(x - 2)$. Раскроем скобки: $9x + 18 = 7x - 14$. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую: $9x - 7x = -14 - 18$. $2x = -32$. $x = -16$. Корень $x = -16$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $-16$.

5)

ОДЗ: $x + 3 \neq 0$ и $4x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -3$ и $x \neq -\frac{1}{4}$. Используем свойство пропорции: $(x - 2)(4x + 1) = (4x - 1)(x + 3)$. Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $4x^2 + x - 8x - 2 = 4x^2 + 12x - x - 3$. $4x^2 - 7x - 2 = 4x^2 + 11x - 3$. Сократим $4x^2$ в обеих частях: $-7x - 2 = 11x - 3$. Соберем переменные с одной стороны, а числа с другой: $3 - 2 = 11x + 7x$. $1 = 18x$. $x = \frac{1}{18}$. Это значение удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{18}$.

6)

ОДЗ: $x + 1 \neq 0$ и $2x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$ и $x \neq -\frac{1}{2}$. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x + 1)(2x + 1)$: $\frac{4x - 3}{x + 1} - \frac{6x - 5}{2x + 1} - 1 = 0$. $\frac{(4x - 3)(2x + 1) - (6x - 5)(x + 1) - (x + 1)(2x + 1)}{(x + 1)(2x + 1)} = 0$. Приравняем числитель к нулю: $(4x - 3)(2x + 1) - (6x - 5)(x + 1) - (x + 1)(2x + 1) = 0$. Раскроем скобки: $(8x^2 + 4x - 6x - 3) - (6x^2 + 6x - 5x - 5) - (2x^2 + 2x + x + 1) = 0$. $(8x^2 - 2x - 3) - (6x^2 + x - 5) - (2x^2 + 3x + 1) = 0$. $8x^2 - 2x - 3 - 6x^2 - x + 5 - 2x^2 - 3x - 1 = 0$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(8x^2 - 6x^2 - 2x^2) + (-2x - x - 3x) + (-3 + 5 - 1) = 0$. $0 - 6x + 1 = 0$. $-6x = -1$. $x = \frac{1}{6}$. Корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{6}$.

7)

Преобразуем знаменатели: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ и $3 - x = -(x - 3)$. ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Перепишем уравнение: $\frac{x^2 + 33}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{8}{x + 3} - \frac{x + 4}{-(x - 3)}$. $\frac{x^2 + 33}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{8}{x + 3} + \frac{x + 4}{x - 3}$. Умножим обе части на общий знаменатель $(x - 3)(x + 3)$: $x^2 + 33 = 8(x - 3) + (x + 4)(x + 3)$. Раскроем скобки: $x^2 + 33 = 8x - 24 + (x^2 + 3x + 4x + 12)$. $x^2 + 33 = 8x - 24 + x^2 + 7x + 12$. $x^2 + 33 = x^2 + 15x - 12$. Сократим $x^2$: $33 = 15x - 12$. $33 + 12 = 15x$. $45 = 15x$. $x = 3$. Полученный корень $x = 3$ не входит в ОДЗ, следовательно, является посторонним. Ответ: корней нет.

8)

Разложим знаменатели на множители: $x^2 + x = x(x + 1)$. $x^2 - x = x(x - 1)$. $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 1$, $x \neq -1$. Общий знаменатель $x(x - 1)(x + 1)$. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числитель к нулю: $\frac{6(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{(x-6)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} + \frac{10x}{x(x-1)(x+1)} = 0$. $6(x - 1) - (x - 6)(x + 1) + 10x = 0$. Раскроем скобки: $6x - 6 - (x^2 + x - 6x - 6) + 10x = 0$. $6x - 6 - (x^2 - 5x - 6) + 10x = 0$. $6x - 6 - x^2 + 5x + 6 + 10x = 0$. Приведем подобные слагаемые: $-x^2 + (6x + 5x + 10x) + (-6 + 6) = 0$. $-x^2 + 21x = 0$. $x^2 - 21x = 0$. $x(x - 21) = 0$. Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 21$. Корень $x = 0$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x = 21$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $21$.