Номер 36, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 36, страница 65.

Условие.

36. Докажите тождество:

1) $\frac{c+6}{c^2-4c+4} : \frac{c^2-36}{16c-32} - \frac{4}{c-6} = \frac{4}{2-c}$;

2) $(\frac{1}{(x-7)^2} + \frac{2}{x^2-49} + \frac{1}{(x+7)^2}) : \frac{16x^4}{(x^2-49)^2} = \frac{1}{4x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть до тех пор, пока она не станет равна правой части.
Левая часть: $ \frac{c+6}{c^2-4c+4} : \frac{c^2-36}{16c-32} - \frac{4}{c-6} $
Сначала выполним деление. Для этого разложим многочлены в числителях и знаменателях на множители:
$ c^2-4c+4 = (c-2)^2 $ (квадрат разности)
$ c^2-36 = (c-6)(c+6) $ (разность квадратов)
$ 16c-32 = 16(c-2) $
Подставим разложенные выражения в первую часть:
$ \frac{c+6}{(c-2)^2} : \frac{(c-6)(c+6)}{16(c-2)} $
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$ \frac{c+6}{(c-2)^2} \cdot \frac{16(c-2)}{(c-6)(c+6)} $
Сократим общие множители $ (c+6) $ и $ (c-2) $:
$ \frac{\cancel{c+6}}{(c-2)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{16(\cancel{c-2})}{(c-6)(\cancel{c+6})} = \frac{16}{(c-2)(c-6)} $
Теперь выполним вычитание:
$ \frac{16}{(c-2)(c-6)} - \frac{4}{c-6} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ (c-2)(c-6) $:
$ \frac{16}{(c-2)(c-6)} - \frac{4(c-2)}{(c-2)(c-6)} = \frac{16 - 4(c-2)}{(c-2)(c-6)} $
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$ \frac{16 - 4c + 8}{(c-2)(c-6)} = \frac{24 - 4c}{(c-2)(c-6)} $
Вынесем общий множитель 4 в числителе:
$ \frac{4(6 - c)}{(c-2)(c-6)} $
Заметим, что $ 6-c = -(c-6) $, поэтому:
$ \frac{-4(c-6)}{(c-2)(c-6)} $
Сократим общий множитель $ (c-6) $:
$ \frac{-4}{c-2} $
Теперь преобразуем правую часть тождества $ \frac{4}{2-c} $:
$ \frac{4}{2-c} = \frac{4}{-(c-2)} = -\frac{4}{c-2} $
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество $ \frac{c+6}{c^2-4c+4} : \frac{c^2-36}{16c-32} - \frac{4}{c-6} = \frac{4}{2-c} $ доказано.

2)

В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка. Если выполнять умножение, тождество не выполняется. Скорее всего, вместо знака умножения (·) должен стоять знак деления (:). Докажем исправленное тождество:
$ \left( \frac{1}{(x-7)^2} + \frac{2}{x^2-49} + \frac{1}{(x+7)^2} \right) : \frac{16x^4}{(x^2-49)^2} = \frac{1}{4x^2} $
Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $ x^2-49 = (x-7)(x+7) $. Выражение в скобках представляет собой полный квадрат суммы:
$ \frac{1}{(x-7)^2} + \frac{2}{(x-7)(x+7)} + \frac{1}{(x+7)^2} = \left( \frac{1}{x-7} + \frac{1}{x+7} \right)^2 $
Выполним сложение дробей внутри скобок, приведя их к общему знаменателю $ (x-7)(x+7) = x^2-49 $:
$ \frac{1}{x-7} + \frac{1}{x+7} = \frac{(x+7) + (x-7)}{(x-7)(x+7)} = \frac{2x}{x^2-49} $
Теперь возведем результат в квадрат:
$ \left( \frac{2x}{x^2-49} \right)^2 = \frac{(2x)^2}{(x^2-49)^2} = \frac{4x^2}{(x^2-49)^2} $
Подставим это выражение обратно в левую часть исправленного тождества и выполним деление:
$ \frac{4x^2}{(x^2-49)^2} : \frac{16x^4}{(x^2-49)^2} $
Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную ей дробь:
$ \frac{4x^2}{(x^2-49)^2} \cdot \frac{(x^2-49)^2}{16x^4} $
Сократим общие множители $ (x^2-49)^2 $:
$ \frac{4x^2}{16x^4} $
Сократим числовой коэффициент и степени $x$:
$ \frac{4}{16} \cdot \frac{x^2}{x^4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{4x^2} $
Полученное выражение равно правой части тождества.
Ответ: Исправленное тождество $ \left( \frac{1}{(x-7)^2} + \frac{2}{x^2-49} + \frac{1}{(x+7)^2} \right) : \frac{16x^4}{(x^2-49)^2} = \frac{1}{4x^2} $ доказано.