Номер 30, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Выполните возведение в степень:

1) $(\frac{x^8}{y^5})^5$; 2) $(-\frac{6b^3}{7c})^2$; 3) $(-\frac{4m^2n^4}{9p^6k^7})^3$.

1)

Для возведения дроби в степень необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

$$ \left(\frac{x^8}{y^5}\right)^5 = \frac{(x^8)^5}{(y^5)^5} $$

Далее используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$$ \frac{(x^8)^5}{(y^5)^5} = \frac{x^{8 \cdot 5}}{y^{5 \cdot 5}} = \frac{x^{40}}{y^{25}} $$

Ответ: $\frac{x^{40}}{y^{25}}$

2)

При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2) результат будет положительным. Затем возводим в степень каждый множитель в числителе и знаменателе, используя свойства $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(abc)^n = a^n b^n c^n$.

$$ \left(-\frac{6b^3}{7c}\right)^2 = \left(\frac{6b^3}{7c}\right)^2 = \frac{(6b^3)^2}{(7c)^2} = \frac{6^2 \cdot (b^3)^2}{7^2 \cdot c^2} $$

Применяем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и вычисляем числовые значения.

$$ \frac{36 \cdot b^{3 \cdot 2}}{49 \cdot c^2} = \frac{36b^6}{49c^2} $$

Ответ: $\frac{36b^6}{49c^2}$

3)

При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат будет отрицательным. Далее, как и в предыдущих примерах, возводим в степень каждый множитель в числителе и знаменателе.

$$ \left(-\frac{4m^2n^4}{9p^6k^7}\right)^3 = - \left(\frac{4m^2n^4}{9p^6k^7}\right)^3 = - \frac{(4m^2n^4)^3}{(9p^6k^7)^3} $$

Раскрываем скобки в числителе и знаменателе, применяя свойство $(abc)^n=a^n b^n c^n$.

$$ - \frac{4^3 \cdot (m^2)^3 \cdot (n^4)^3}{9^3 \cdot (p^6)^3 \cdot (k^7)^3} $$

Применяем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и вычисляем числовые значения.

$$ - \frac{64 \cdot m^{2 \cdot 3} \cdot n^{4 \cdot 3}}{729 \cdot p^{6 \cdot 3} \cdot k^{7 \cdot 3}} = - \frac{64m^6n^{12}}{729p^{18}k^{21}} $$

Ответ: $-\frac{64m^6n^{12}}{729p^{18}k^{21}}$