Номер 35, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 35, страница 65.

Условие.

35. Упростите выражение:

1) $ \left(\frac{a + 9}{a - 9} - \frac{a - 9}{a + 9}\right) : \frac{18a^2}{81 - a^2}; $

2) $ \left(3x - \frac{6x}{x + 5}\right) : \frac{9x + 27}{8x + 40}; $

3) $ \frac{2a}{a - 5} - \frac{a + 7}{4a - 20} \cdot \frac{200}{a^2 + 7a}; $

4) $ \left(\frac{4c}{c - 4} - \frac{3c}{c^2 - 8c + 16}\right) : \left(\frac{4c - 19}{c^2 - 16} - \frac{4c + 16}{c - 4}\right); $

5) $ \left(\frac{n^2}{m^3 - mn^2} + \frac{1}{m - n}\right) : \left(\frac{m}{mn - n^2} - \frac{m + n}{mn - m^2}\right); $

6) $ \left(\frac{b^2 + 9}{b^2 - 9} + \frac{b}{b + 3} + \frac{b}{3 - b}\right) : \frac{b^2 - 3b}{(b + 3)^2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-9)(a+9) = a^2-81$:
$\frac{a+9}{a-9} - \frac{a-9}{a+9} = \frac{(a+9)^2 - (a-9)^2}{(a-9)(a+9)} = \frac{(a^2+18a+81) - (a^2-18a+81)}{a^2-81} = \frac{a^2+18a+81-a^2+18a-81}{a^2-81} = \frac{36a}{a^2-81}$.

Теперь выполним деление. Заменим деление умножением на обратную дробь и учтем, что $81-a^2 = -(a^2-81)$:$\frac{36a}{a^2-81} : \frac{18a^2}{81-a^2} = \frac{36a}{a^2-81} \cdot \frac{81-a^2}{18a^2} = \frac{36a}{a^2-81} \cdot \frac{-(a^2-81)}{18a^2}$.
Сокращаем общие множители $(a^2-81)$, $18$ и $a$:$\frac{36a \cdot (-1)}{18a^2} = \frac{-2 \cdot 18 \cdot a}{18 \cdot a \cdot a} = -\frac{2}{a}$.

Ответ: $-\frac{2}{a}$

2)

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $x+5$:$3x - \frac{6x}{x+5} = \frac{3x(x+5)}{x+5} - \frac{6x}{x+5} = \frac{3x^2+15x-6x}{x+5} = \frac{3x^2+9x}{x+5} = \frac{3x(x+3)}{x+5}$.

Теперь выполним деление. Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби: $9x+27 = 9(x+3)$ и $8x+40=8(x+5)$. Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим общие множители:$\frac{3x(x+3)}{x+5} : \frac{9(x+3)}{8(x+5)} = \frac{3x(x+3)}{x+5} \cdot \frac{8(x+5)}{9(x+3)} = \frac{3x \cdot 8}{9} = \frac{24x}{9} = \frac{8x}{3}$.

Ответ: $\frac{8x}{3}$

3)

Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Разложим знаменатели на множители: $4a-20 = 4(a-5)$ и $a^2+7a = a(a+7)$.$\frac{a+7}{4a-20} \cdot \frac{200}{a^2+7a} = \frac{a+7}{4(a-5)} \cdot \frac{200}{a(a+7)}$.Сократим общие множители $(a+7)$ и число $200$ на $4$:$\frac{1}{4(a-5)} \cdot \frac{200}{a} = \frac{50}{a(a-5)}$.

Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю $a(a-5)$:$\frac{2a}{a-5} - \frac{50}{a(a-5)} = \frac{2a \cdot a}{a(a-5)} - \frac{50}{a(a-5)} = \frac{2a^2 - 50}{a(a-5)}$.Вынесем в числителе общий множитель $2$ и применим формулу разности квадратов:$\frac{2(a^2 - 25)}{a(a-5)} = \frac{2(a-5)(a+5)}{a(a-5)}$.Сократим общий множитель $(a-5)$:$\frac{2(a+5)}{a}$.

Ответ: $\frac{2(a+5)}{a}$

4)

Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель $c^2-8c+16$ по формуле квадрата разности: $c^2-8c+16=(c-4)^2$. Приведем к общему знаменателю $(c-4)^2$:$\frac{4c}{c-4} - \frac{3c}{(c-4)^2} = \frac{4c(c-4)}{(c-4)^2} - \frac{3c}{(c-4)^2} = \frac{4c^2-16c-3c}{(c-4)^2} = \frac{4c^2-19c}{(c-4)^2} = \frac{c(4c-19)}{(c-4)^2}$.

Теперь выполним деление. Разложим знаменатель $c^2-16$ по формуле разности квадратов: $c^2-16=(c-4)(c+4)$.$\frac{c(4c-19)}{(c-4)^2} : \frac{4c-19}{c^2-16} = \frac{c(4c-19)}{(c-4)^2} \cdot \frac{(c-4)(c+4)}{4c-19}$. Сократив общие множители, получим $\frac{c(c+4)}{c-4}$.

Осталось выполнить вычитание. Так как знаменатели одинаковы, вычтем числители:$\frac{c(c+4)}{c-4} - \frac{4c+16}{c-4} = \frac{c^2+4c-(4c+16)}{c-4} = \frac{c^2+4c-4c-16}{c-4} = \frac{c^2-16}{c-4}$.Применим формулу разности квадратов и сократим: $\frac{(c-4)(c+4)}{c-4} = c+4$.

Ответ: $c+4$

5)

Упростим выражение в каждой из скобок.В первой скобке: $m^3-mn^2 = m(m-n)(m+n)$.$\frac{n^2}{m(m-n)(m+n)} + \frac{1}{m-n} = \frac{n^2+m(m+n)}{m(m-n)(m+n)} = \frac{m^2+mn+n^2}{m(m-n)(m+n)}$.

Во второй скобке: $mn-n^2=n(m-n)$, $mn-m^2=-m(m-n)$.$\frac{m}{n(m-n)} - \frac{m+n}{-m(m-n)} = \frac{m}{n(m-n)} + \frac{m+n}{m(m-n)} = \frac{m^2+n(m+n)}{mn(m-n)} = \frac{m^2+mn+n^2}{mn(m-n)}$.

Теперь выполним деление:$\frac{m^2+mn+n^2}{m(m-n)(m+n)} : \frac{m^2+mn+n^2}{mn(m-n)} = \frac{m^2+mn+n^2}{m(m-n)(m+n)} \cdot \frac{mn(m-n)}{m^2+mn+n^2}$.Сократим общие множители $(m^2+mn+n^2)$, $(m-n)$ и $m$:$\frac{mn}{m(m+n)} = \frac{n}{m+n}$.

Ответ: $\frac{n}{m+n}$

6)

Упростим выражение в скобках. Учтем, что $b^2-9=(b-3)(b+3)$ и $3-b=-(b-3)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(b-3)(b+3)$:$\frac{b^2+9}{b^2-9} + \frac{b}{b+3} + \frac{b}{3-b} = \frac{b^2+9}{(b-3)(b+3)} + \frac{b(b-3)}{(b-3)(b+3)} - \frac{b(b+3)}{(b-3)(b+3)}$.Объединим числители: $\frac{b^2+9+b^2-3b-b^2-3b}{(b-3)(b+3)} = \frac{b^2-6b+9}{(b-3)(b+3)}$.Числитель является полным квадратом $(b-3)^2$, поэтому дробь равна $\frac{(b-3)^2}{(b-3)(b+3)} = \frac{b-3}{b+3}$.

Теперь выполним деление. Разложим числитель второй дроби: $b^2-3b=b(b-3)$.$\frac{b-3}{b+3} : \frac{b(b-3)}{(b+3)^2} = \frac{b-3}{b+3} \cdot \frac{(b+3)^2}{b(b-3)}$.Сократим общие множители $(b-3)$ и $(b+3)$:$\frac{b+3}{b}$.

Ответ: $\frac{b+3}{b}$