Номер 23, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 23, страница 63.

Условие.

23. Найдите все натуральные значения n, при которых является целым числом значение выражения:

1) $\frac{5n^2 + 6n + 21}{n}$

2) $\frac{3n^3 + 4n^2 + 162}{n^2}$

3) $\frac{12n + 11}{3n - 2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы значение выражения $\frac{5n^2 + 6n + 21}{n}$ было целым числом, необходимо найти все натуральные $n$, при которых это условие выполняется.

Преобразуем выражение, разделив числитель почленно на знаменатель: $$ \frac{5n^2 + 6n + 21}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{6n}{n} + \frac{21}{n} = 5n + 6 + \frac{21}{n} $$

Поскольку $n$ — натуральное число, выражения $5n$ и $6$ всегда являются целыми числами. Следовательно, вся сумма будет целой тогда и только тогда, когда слагаемое $\frac{21}{n}$ будет целым числом.

Это возможно, если $n$ является натуральным делителем числа 21. Найдем все натуральные делители числа 21.

Натуральные делители числа 21: 1, 3, 7, 21.

Таким образом, искомые значения $n$ — это 1, 3, 7 и 21.

Ответ: 1, 3, 7, 21.

2) Рассмотрим выражение $\frac{3n^3 + 4n^2 + 162}{n^2}$. Найдем все натуральные $n$, при которых его значение будет целым.

Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{3n^3 + 4n^2 + 162}{n^2} = \frac{3n^3}{n^2} + \frac{4n^2}{n^2} + \frac{162}{n^2} = 3n + 4 + \frac{162}{n^2} $$

Для натуральных $n$ сумма $3n + 4$ всегда является целым числом. Значит, для того чтобы всё выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{162}{n^2}$ была целым числом.

Это означает, что $n^2$ должно быть натуральным делителем числа 162. Найдем все натуральные делители числа 162. Разложим 162 на простые множители: $162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$.

Теперь найдем, какие из делителей числа 162 являются полными квадратами натуральных чисел:

• Если $n^2 = 1$, то $n = 1$.
• Если $n^2 = 9$, то $n = 3$.
• Если $n^2 = 81$, то $n = 9$.

Других делителей числа 162, которые являются полными квадратами, нет.

Следовательно, подходящие значения $n$ — это 1, 3 и 9.

Ответ: 1, 3, 9.

3) Найдем все натуральные $n$, при которых выражение $\frac{12n + 11}{3n - 2}$ является целым числом.

Преобразуем выражение, выделив целую часть. Для этого представим числитель через знаменатель: $$ 12n + 11 = 4(3n - 2) + 8 + 11 = 4(3n - 2) + 19 $$

Теперь подставим это в исходную дробь: $$ \frac{12n + 11}{3n - 2} = \frac{4(3n - 2) + 19}{3n - 2} = \frac{4(3n - 2)}{3n - 2} + \frac{19}{3n - 2} = 4 + \frac{19}{3n - 2} $$

Выражение будет целым, если дробь $\frac{19}{3n - 2}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $3n - 2$ является делителем числа 19.

Число 19 — простое, его целочисленные делители: -19, -1, 1, 19. Рассмотрим все возможные случаи для $3n - 2$:

1. $3n - 2 = 1 \implies 3n = 3 \implies n = 1$. Это натуральное число.
2. $3n - 2 = 19 \implies 3n = 21 \implies n = 7$. Это натуральное число.
3. $3n - 2 = -1 \implies 3n = 1 \implies n = \frac{1}{3}$. Не является натуральным числом.
4. $3n - 2 = -19 \implies 3n = -17 \implies n = -\frac{17}{3}$. Не является натуральным числом.

Таким образом, подходят только натуральные значения $n=1$ и $n=7$.

Ответ: 1, 7.