Номер 20, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 20, страница 62.

Условие.

20. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{6m}{26} + \frac{7m}{26}$;

2) $\frac{14a}{9b} - \frac{5a}{9b}$;

3) $\frac{4b - 15c}{18a} + \frac{2b + 3c}{18a}$;

4) $\frac{8m - 5n}{mn} - \frac{2m - 5n}{mn}$;

5) $\frac{2y}{y^2 - 49} - \frac{14}{y^2 - 49}$;

6) $\frac{x^2 + 12x}{25 - x^2} - \frac{2x - 25}{25 - x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. После этого, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{6m}{26} + \frac{7m}{26} = \frac{6m + 7m}{26} = \frac{13m}{26}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 13:

$\frac{13m}{26} = \frac{13 \cdot m}{13 \cdot 2} = \frac{m}{2}$

Ответ: $\frac{m}{2}$

2) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. Затем упростить результат.

$\frac{14a}{9b} - \frac{5a}{9b} = \frac{14a - 5a}{9b} = \frac{9a}{9b}$

Сократим дробь на общий множитель 9:

$\frac{9a}{9b} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$

3) Складываем дроби с одинаковыми знаменателями, складывая их числители.

$\frac{4b - 15c}{18a} + \frac{2b + 3c}{18a} = \frac{(4b - 15c) + (2b + 3c)}{18a}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{4b + 2b - 15c + 3c}{18a} = \frac{6b - 12c}{18a}$

Вынесем общий множитель 6 в числителе за скобки:

$\frac{6(b - 2c)}{18a}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{6(b - 2c)}{18a} = \frac{b - 2c}{3a}$

Ответ: $\frac{b - 2c}{3a}$

4) Вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю.

$\frac{8m - 5n}{mn} - \frac{2m - 5n}{mn} = \frac{(8m - 5n) - (2m - 5n)}{mn}$

Раскрываем скобки в числителе, меняя знаки:

$\frac{8m - 5n - 2m + 5n}{mn}$

Приводим подобные слагаемые:

$\frac{8m - 2m - 5n + 5n}{mn} = \frac{6m}{mn}$

Сокращаем дробь на $m$ (при условии, что $m \ne 0$):

$\frac{6m}{mn} = \frac{6}{n}$

Ответ: $\frac{6}{n}$

5) Вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями.

$\frac{2y}{y^2 - 49} - \frac{14}{y^2 - 49} = \frac{2y - 14}{y^2 - 49}$

Для сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 2. Знаменатель представляет собой разность квадратов $y^2 - 7^2$.

$\frac{2(y - 7)}{(y - 7)(y + 7)}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(y-7)$ (при условии, что $y \ne 7$):

$\frac{2}{y + 7}$

Ответ: $\frac{2}{y + 7}$

6) Вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями.

$\frac{x^2 + 12x}{25 - x^2} - \frac{2x - 25}{25 - x^2} = \frac{(x^2 + 12x) - (2x - 25)}{25 - x^2}$

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:

$\frac{x^2 + 12x - 2x + 25}{25 - x^2} = \frac{x^2 + 10x + 25}{25 - x^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель - это полный квадрат суммы $(x+5)^2$. Знаменатель - это разность квадратов $5^2 - x^2 = (5-x)(5+x)$.

$\frac{(x+5)^2}{(5-x)(5+x)}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x+5)$ (или $(5+x)$), (при условии, что $x \ne -5$):

$\frac{x+5}{5-x}$

Ответ: $\frac{x+5}{5-x}$